\(A=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\)

\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

đoạn lớn hơn hoặc bằng cụm 9/ (3+xy+yz+zx) ấy, làm sao để có, mình ko hiểu lắm

Cái đó là bất đẳng thức cosi swat đó

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le3\)

Ta có \(P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+1+yz+1+xz+1}=\dfrac{9}{xy+yz+xz+3}\) (1)

Ta có \(xy+yz+xz\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+3\le6\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le3\)

Ta có \(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+1+yz+1+xz+1}=\frac{9}{xy+yz+xz+3}\left(1\right)\)

Ta có : \(xy+yz+xz\le3\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+3\le6\)

\(\Rightarrow\frac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Ta có

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\frac{4}{9}}{2xy}+\frac{\frac{4}{9}}{2yz}+\frac{\frac{4}{9}}{2zx}\right)+\frac{7}{9}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(\ge\frac{\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{9}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{9}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(=9+\frac{7}{9}.27=30\)

Vậy GTNN là 30 đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

lớp mấy

còn cách nào dễ hơn k bạn cosy ấy

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)