Áp dụng BĐT
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
Trong đó: a=xy; b=yz; c=zx
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{zy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge9\)(*)
Áp dụng BĐT Cô-si
\(x^2+y^2\ge2xy\left(x>0;y>0\right)\left(1\right)\)
\(y^2+z^2\ge2yz\left(y>0;z>0\right)\left(2\right)\)
\(z^2+x^2\ge2xz\left(x>0;z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (1);(2);(3) ta được: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(**)
Từ (*);(**)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot A\ge\left(xy+yz+zx\right)\cdot A\ge9\)
\(\Rightarrow3A\ge9\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x=y=z\)
Quỳnh Mơn you nhìu nha ! May quá
Áp dụng BĐT Svacxo cho 3 số dương ta được :
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+z+zx}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}=\frac{9}{3}=3\)
( Do BĐT : \(xy+yz+zx\ge x^2+y^2+z^2\) )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)