XD moi x

\(yx^2+y=x^2+3x+5\Leftrightarrow\left(y-1\right)x^2-3x+\left(y-5\right)=0\)

dat y-1=a cho gon

\(ax^2-3x+\left(a-4\right)=0\)(1)

tim DK a de phuong trinh tren(1) co nghiem

a=0=>-3x-4=0=> x=4/3

voi a \(\ne0\)(1) phuong trinh bac 2

=>delta(x)=3^2-4a.(a-4)\(\ge0\) 

\(\Leftrightarrow9-4a^2+16a\ge0\Leftrightarrow4a^2-16a-9\le0\)

delta"(a)=4^2-4.(-9)=16+36=52=4.13

\(\orbr{\begin{cases}a_1=\frac{4-2\sqrt{13}}{4}=1-\frac{\sqrt{13}}{2}\\a_2=\frac{4+2\sqrt{13}}{4}=1+\frac{\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)

\(\left(1-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)\le a\le1+\frac{\sqrt{13}}{2}\)

\(1-\frac{\sqrt{13}}{2}\le y-1\le1+\frac{\sqrt{13}}{2}\)

\(2-\frac{\sqrt{13}}{2}\le y\le2+\frac{\sqrt{13}}{2}\)

Ta có

\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{\sqrt{xx}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

\(\ge\frac{2}{x+x}+\frac{2}{x+y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)^2}{3x+y}\ge\frac{8}{4}=2\)

Vậy GTNH là 2 đạt được khi x = y = 1

ta có

\(\)\(y=\frac{1}{3}\log^3_{\frac{1}{2}}x+\log^2_{\frac{1}{2}}x-3\log_{\frac{1}{2}}x+1\)

Đặt =\(t=\log_{\frac{1}{2}}x\) ta có

\(y=\frac{1}{3}t^3+t^2-3t+1\) 

với \(\frac{1}{4}\le x\le4\Leftrightarrow\frac{1}{4}\le\left(\frac{1}{2}\right)^t\le4\Leftrightarrow-2\le t\le2\)

thay vì tính GTLN,GTNN của hàm số y trên [1/4;4] ta tính GTLN,GTNN của hàm số trên [-2;2]

ta tính \(y'=t^2+2t-3\) 

ta tính y'=0 suy ra t=1(loại);t=-3(loại)

ta tính y(2)=\(\frac{5}{3}\);y(-2)=\(\frac{-25}{3}\)

vậy GTNN của y=\(\frac{-25}{3}khi\log_{\frac{1}{2}}x=-2\Rightarrow x=4\) 

hàm số đạt GTLN y=\(\frac{5}{3}\) khi \(\log_{\frac{1}{2}}x=2\Leftrightarrow x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

Ta khẳng định : Dấu '=' xảy ra tại x=a, y=b, z=c

Khi đó \(4a+3b+4c=22;\frac{1}{3x}=\frac{1}{3a}=\frac{x}{3a^2},\frac{2}{y}=\frac{2}{b}=\frac{2y}{b^2},\frac{3}{z}=\frac{3}{c}=\frac{3z}{c^2}\)và :

\(\frac{1}{3x}+\frac{x}{3a^2}\ge\frac{2}{3a},\frac{2}{y}+\frac{2y}{b^2}\ge\frac{4}{b},\frac{3}{z}+\frac{3z}{c^2}\ge\frac{6}{c}\)

\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\left(\frac{2}{3a}-\frac{x}{3a^2}\right)+\left(\frac{4}{b}-\frac{2y}{b^2}\right)+\left(\frac{6}{c}-\frac{3z}{c^2}\right)\)

\(=\left(1-\frac{1}{3a^2}\right)x+\left(1-\frac{2}{b^2}\right)y+\left(1-\frac{3}{c^2}\right)z+\left(\frac{2}{3a}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)\)(*)

Ta chọn a,b,c thích hợp để sử dụng giả thiết \(4x+3y+4z=22\).. Vậy thì các hệ số của x,y,z trong (*) phải thỏa:

\(\hept{\begin{cases}4a+3b+4c=22\\\frac{1-\frac{1}{3a^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{b^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{c^2}}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}}\)

Sau khi rút gọn thì ta được \(A=x\left(2x+3\right)\)

                                  \(\Leftrightarrow A=2x^2+3x\)

                                  \(\Leftrightarrow A=2\left(x^2+2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}\right)-2.\frac{9}{4}\)

                                  \(\Leftrightarrow A=2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\)

Vì \(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\) nên \(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\ge\frac{-9}{2}\)

Do đó \(A=2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\ge\frac{-9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\)\(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\)\(x+\frac{3}{2}=0\)

                       \(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{-3}{2}\)

\(VậyMinA=\frac{-9}{2}tạix=\frac{-3}{2}\)

a) Đặt \(t=\frac{1}{x}\) , ta có : \(A=t^2-4t+5=\left(t^2-4t+4\right)+1=\left(t-2\right)^2+1\ge1\)

=> Min A = 1 <=> t = 2 <=> x = 1/2

b) Đặt \(z=\frac{1}{y}\) , ta có ; \(B=-9z^2-18z+19=-9\left(z^2+2z+1\right)+28=-9\left(z+1\right)^2+28\le28\)

=> Max B = 28 <=> z = -1 <=> y = -1