Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.

a, Để 3/(n-1) nguyên 

<=> 3 chia hết cho n-1 

Mà n-1 nguyên 

=> n-1 thuộc Ư(3)={-3,-1,1,3}  

=> n=-2,0,2,4

Xửa đề:

\(\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}\) (vơi m, n thuộc Z)

\(\Leftrightarrow xn-ym=\left(yn-zm\right)\sqrt{2015}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xn-ym=0\\yn-zm=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow xz=y^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z+y\right)\left(x+z-y\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=1\left(l\right)\\x+z-y=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x+z=y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\)

\(\Rightarrow x=y=z=1\)

Đề ghi nhầm rồi. Xao không co z vậy

giúp mình nhé 

Lời giải:
a.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$A^2=(\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x})^2\leq (x-1+9-x)(1+1)=16$

$\Rightarrow A\leq 4$

Vậy $A_{\max}=4$. Giá trị này đạt tại $x=5$

b.

$A=\frac{3(\sqrt{x}+2)+5}{\sqrt{x}+2}=3+\frac{5}{\sqrt{x}+2}$

Để $A$ nguyên thì $\frac{5}{\sqrt{x}+2}=m$ với $m$ nguyên dương

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+2=\frac{5}{m}$

$\sqrt{x}=\frac{5-2m}{m}$

Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\frac{5-2m}{m}\geq 0$

Mà $m$ nguyên dương nên $5-2m\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq 2,5$. 

$\Rightarrow m=1; 2$

$\Rightarrow x=9; x=\frac{1}{4}$