a) Xét tam giác  ADB có: 

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow HE//DB\left(1\right)\)( định lý Ta-let đảo )

Xét tam giác CDB có:

\(\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow GF//BD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HE//GF\)

CMTT\(HG//EF\)( cùng // AC)

Xét tứ giác EFGH có:

\(\hept{\begin{cases}HE//GF\left(cmt\right)\\HG//EF\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow EFGH}\)là hình bình hành (dhnb)

b) 

Đặt\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=k\)

Xét tam giác ADB có:

\(HE//BD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=k\)( vì \(\frac{AE}{AB}=k\))

\(\Rightarrow HE=k.BD\)

Xét tam giác ABC có:

\(EF//AC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{AB-AE}{BA}=1-k\)

\(\Rightarrow EF=\left(1-k\right)AC\)

\(P_{EFGH}=2\left(HE+EF\right)\)

\(=2\left[k.BD+\left(1-k\right)AC\right]\)

\(=2AC\)không đổi  ( AC=BD do ABCD là hình chữ nhật )

Vậy chu vi của hbh EFGH có giá trị không đổi 

bạn bảo châu ơi

Từ các hệ Thức trên ta dễ dàng có HE//BD//FG(1)

Suy ra \(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=\frac{HE}{BD}=\frac{FG}{BD}=k\Rightarrow HE=FG\)(2)

Từ (1) và (2) có ĐPCM

b/Ta cx dễ dàng chứng minh đc \(\frac{EG}{AC}=\frac{HF}{AC}=\)\(\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AB}-\frac{AE}{AB}=1-k\)

Ta thấy HE,FG tỉ lệ thuận BD =k

EG,HF tỉ lệ thuận AC =1-k

Mà AC,BD cố định suy ra Các cạnh của HBH cố định, suy ra Chu vi cx cố định

Câu 12. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

Câu 12. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.     B. Hình thoi.      C. Hình bình hành.            D. Hình vuông.

Câu 13. Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 4cm.                B. 7 cm.         C. 14cm.               D. 8cm.

Câu 14. Cho hình vuông có chu vi 32 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 10cm.          B. 15cm.             C. 5cm.            D. 8 cm

ok

AE//CG, AE = CG nên AECG là hình bình hành ⇒ O là trung điểm của EG. Tương tự O là trung điểm của HF.

a: AE+EB=AB

BF+FC=BC

CG+GD=CD

DH+HA=DA

mà AB=BC=CD=DA và AE=BF=CG=DH

nên EB=FC=GD=HA

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔGCF vuông tại C có

EA=GC

AH=CF

Do đó: ΔEAH=ΔGCF

=>EH=GF

Xét ΔEBF vuông tại B và ΔGDH vuông tại D có

EB=GD

BF=DH

Do đó: ΔEBF=ΔGDH

=>EF=GH

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔFBE vuông tại B có

EA=FB

AH=BE

Do đó: ΔEAH=ΔFBE

=>EH=EF và \(\widehat{AEH}=\widehat{BFE}\)

\(\widehat{AEH}+\widehat{HEF}+\widehat{BEF}=180^0\)

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BEF}+\widehat{HEF}=180^0\)

=>\(\widehat{HEF}+90^0=180^0\)

=>\(\widehat{HEF}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có

EF=GH

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EF=EH

nên EHGF là hình thoi

Hình thoi EHGF có \(\widehat{HEF}=90^0\)

nên EHGF là hình vuông

b: 

AH+HD=AD

=>AH+1=4

=>AH=3(cm)

ΔAEH vuông tại A

=>\(AE^2+AH^2=EH^2\)

=>\(EH^2=3^2+1^2=10\)

=>\(EH=\sqrt{10}\left(cm\right)\)

EHGF là hình vuông

=>\(S_{EHGF}=EH^2=10\left(cm^2\right)\)