Vì bài dài nên mình sẽ tách ra nhé.

1a. Ta có:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=-2(xy+yz+xz)$

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)=-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$=-3(-z)(-x)(-y)=3xyz$

$\Rightarrow \text{VT}=-30xyz(xy+yz+xz)(1)$

------------------------

$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)$

$=[(x+y)^2-2xy][(x+y)^3-3xy(x+y)]-x^2y^2(x+y)$

$=(z^2-2xy)(-z^3+3xyz)+x^2y^2z$

$=-z^5+3xyz^3+2xyz^3-6x^2y^2z+x^2y^2z$

$=-z^5+5xyz^3-5x^2y^2z$

$\Rightarrow 6(x^5+y^5+z^5)=6(5xyz^3-5x^2y^2z)$

$=30xyz(z^2-xy)=30xyz[z(-x-y)-xy]=-30xyz(xy+yz+xz)(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

1b.

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2$

$=(z^2-2xy)^2-2x^2y^2=z^4+2x^2y^2-4xyz^2$

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=-z^3+3xyz$

Do đó:

$x^7+y^7=(x^4+y^4)(x^3+y^3)-x^3y^3(x+y)$

$=(z^4+2x^2y^2-4xyz^2)(-z^3+3xyz)+x^3y^3z$

$=7x^3y^3z-14x^2y^2z^3+7xyz^5-z^7$

$\Rightarrow \text{VT}=7x^3y^3z-14x^2y^2z^3+7xyz^5$

$=7xyz(x^2y^2-2xyz^2+z^4)$

$=7xyz(xy-z^2)$

$=7xyz[xy+z(x+y)]^2=7xyz(xy+yz+xz)^2$

$=7xyz[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)]$

$=7xyz(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ (đpcm)

1c. Sử dụng kq phần a,b:

\(10(x^7+y^7+z^7)=70xyz(xy+yz+xz)^2\)

\(=-35xyz(xy+yz+xz).-2(xy+yz+xz)=-35xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\)

\(=\frac{7}{6}.-30xyz(xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)=\frac{7}{6}.6(x^5+y^5+z^5).(x^2+y^2+z^2)\)

\(=7(x^5+y^5+z^5)(x^2+y^2+z^5)\)

(đpcm)

1d. Áp dụng kq phần a
$6(x^5+y^5+z^5)=-30xyz(xy+y+xz)=15xyz.-2(xy+yz+xz)=15xyz(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$ (đpcm)

\(M=\frac{z^5.\left(x+y^2\right).\left(x^2-y^3\right).\left(x^2-y\right)}{x^2+y^2+z^2+1}=\frac{\left(-5\right)^5.\left(-4+16^2\right).\left[\left(-4\right)^2-16^3\right].\left[\left(-4\right)^2-16\right]}{\left(-4\right)^2+16^2+\left(-5\right)^2+1}\)

\(=\frac{\left(-5\right)^5.\left(-4+16^2\right).\left[\left(-4\right)^2-16^3\right].0}{\left(-4\right)^2+16^2+\left(-5\right)^2+1}=0\)

Khai  triển nó ra,ta có:

\(1+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)

\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(1+z^2=xy+yz+zx+z^2=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

Ta có:\(P=\Sigma x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\Sigma x\cdot\left(y+z\right)\)

Rút gọn dc như vậy rồi chị làm nốt ạ

zZz Cool Kid zZz ghê zữ nhen:D

a) ĐK: \(x\ge-2\) (chắc vậy:D)

Chú ý x = -2 không phải là một nghiệm. Xét x > -2

PT \(\Leftrightarrow2\left(x^2-10x-12\right)+20x+40=5\sqrt{2x^3+16}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-10x-12\right)+5\left[\left(4x+8\right)-\sqrt{2x^3+16}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-10x-12\right)-\frac{10\left(x+2\right)\left(x^2-10x-12\right)}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-12\right)\left[2-\frac{10\left(x+2\right)}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}\right]=0\)

Xét cái ngoặc to: \(=\frac{2\left[\sqrt{2x^3+16}-\left(x+2\right)\right]}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}\)

\(=\frac{\frac{2\left(x+2\right)\left(2x^2-5x+6\right)}{\sqrt{2x^3+16}+x+2}}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}>0\forall x>-2\)

Do đó\(x^2-10x-12=0\Rightarrow...\)

b) Nghiệm quá xấu -> Chịu.

P/s: Em ko chắc đâu á, nhất là chỗ xét x> -2 ấy, ko biết có được ko? Với cả xử lý cái ngoặc to em ko chắc là mình nhầm chỗ nào đâu đấy nhá!

a/ \(5\sqrt{2x^3+16}=2\left(x^2+8\right)\)

\(\Leftrightarrow25\left(2x^3+16\right)=4\left(x^2+8\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^4-50x^3+32x^2-72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-12\right)\left(2x^2-5x+6\right)=0\)

Dễ thấy \(2x^2-5x+6>0\)

\(\Rightarrow x^2-10x-12=0\)

Sửa lại đề nha: x+y+z=0

a)

Xét x+y+z=0

(x+y+z)²=0²

x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0

=> x²+y²+z²=-2xy-2yz-2zx

Xét \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

= \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)}\)

=\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2}\)

=\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx}\)(1)

Thay x²+y²+z²=-2xy-2yz-2zx vào (1)

=>\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2}\\=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3x^2+3y^2+3z^2}\\ =\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\\ =\dfrac{1}{3}\)

b)

Xét x+y+z=0 ba lần:

- Lần 1:x+y+z=0

<=> x+y=0-z

<=>(x+y)²=(0-z)²

<=>x²+2xy+y²=z²

<=>x²+y²-z²=-2xy(1)

-Lần 2: x+y+z=0

<=> y+z=0-x

<=>(y+z)²=(0-x)²

<=>y²+2yz+z²=x²

<=>y²+z²-x²=-2yz(2)

-Lần 3: x+y+z=0

<=>z+x=0-y

<=>(z+x)²=(0-y)²

<=>z²+2zx+x²=y²

<=> z²+x²-y²=-2zx(3)

Thay (1),(2),(3) vào Q, ta có:

=>\(\dfrac{\left(x^2+y^2-z^2\right)\left(y^2+z^2-x^2\right)\left(z^2+x^2-y^2\right)}{16xyz}=\dfrac{\left(-2xy\right)\left(-2yz\right)\left(-2zx\right)}{16xyz}\\=\dfrac{\left(-2yz\right)\left(-2zx\right)}{-8z}\\ =\dfrac{y\left(-2zx\right)}{4}\\ =\dfrac{-2xyz}{4}\\ =-\dfrac{xyz}{2}\)

b) Áp dụng bđt Svac-xơ:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)

=> hpt vô nghiệm

c) Ở đây x,y,z là các số thực dương

Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)