Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minh Hiếu

1.Cho x+y+z=0. CMR:

a) \(5\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(x^5+y^5+z^5\right)\)

b) \(x^7+y^7+z^7=7xyz\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

c) \(10\left(x^7+y^7+z^7\right)=7\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x^5+y^5+z^5\right)\)

d) \(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

2. Tìm n∈ N để biểu thức sau là số nguyên tố 

a) \(A=n^3-4n^2-4n-1\)

b) \(B=n^3-6n^2+9n-2\)

c) \(C=n^{1975}+n^{1973}+1\)

Akai Haruma
28 tháng 10 2021 lúc 17:53

Vì bài dài nên mình sẽ tách ra nhé.

1a. Ta có:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=-2(xy+yz+xz)$

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)=-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$=-3(-z)(-x)(-y)=3xyz$

$\Rightarrow \text{VT}=-30xyz(xy+yz+xz)(1)$

------------------------

$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)$

$=[(x+y)^2-2xy][(x+y)^3-3xy(x+y)]-x^2y^2(x+y)$

$=(z^2-2xy)(-z^3+3xyz)+x^2y^2z$

$=-z^5+3xyz^3+2xyz^3-6x^2y^2z+x^2y^2z$

$=-z^5+5xyz^3-5x^2y^2z$

$\Rightarrow 6(x^5+y^5+z^5)=6(5xyz^3-5x^2y^2z)$

$=30xyz(z^2-xy)=30xyz[z(-x-y)-xy]=-30xyz(xy+yz+xz)(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

Akai Haruma
28 tháng 10 2021 lúc 17:58

1b.

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2$

$=(z^2-2xy)^2-2x^2y^2=z^4+2x^2y^2-4xyz^2$

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=-z^3+3xyz$

Do đó:

$x^7+y^7=(x^4+y^4)(x^3+y^3)-x^3y^3(x+y)$

$=(z^4+2x^2y^2-4xyz^2)(-z^3+3xyz)+x^3y^3z$

$=7x^3y^3z-14x^2y^2z^3+7xyz^5-z^7$

$\Rightarrow \text{VT}=7x^3y^3z-14x^2y^2z^3+7xyz^5$

$=7xyz(x^2y^2-2xyz^2+z^4)$

$=7xyz(xy-z^2)$

$=7xyz[xy+z(x+y)]^2=7xyz(xy+yz+xz)^2$

$=7xyz[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)]$

$=7xyz(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ (đpcm)

 

 

Akai Haruma
28 tháng 10 2021 lúc 18:04

1c. Sử dụng kq phần a,b:

\(10(x^7+y^7+z^7)=70xyz(xy+yz+xz)^2\)

\(=-35xyz(xy+yz+xz).-2(xy+yz+xz)=-35xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\)

\(=\frac{7}{6}.-30xyz(xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)=\frac{7}{6}.6(x^5+y^5+z^5).(x^2+y^2+z^2)\)

\(=7(x^5+y^5+z^5)(x^2+y^2+z^5)\)

(đpcm)

1d. Áp dụng kq phần a
$6(x^5+y^5+z^5)=-30xyz(xy+y+xz)=15xyz.-2(xy+yz+xz)=15xyz(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$ (đpcm)

 

Akai Haruma
28 tháng 10 2021 lúc 18:09

2a. Có vô số số tự nhiên $n$ để $A$ nguyên tố. Bạn xem lại đề xem có viết sai bt không 

2b.

$B=n(n^2-6n+9)-2=n(n-3)^2-2$
Vì $n, n-3$ khác tính chẵn lẻ nên chắc chắn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow n(n-3)^2$ chẵn

$\Rightarrow B$ chẵn. Để $B$ nguyên tố thì $B=2$

$\Leftrightarrow n^3-6n^2+9n=4$

Giải pt ta thu được $n=1$ hoặc $n=4$

 

Akai Haruma
28 tháng 10 2021 lúc 18:13

2c.

\(C=(n^{1975}-n)+(n^{1973}-n^2)+n^2+n+1\)

\(=n(n^{1974}-1)+n^2(n^{1971}-1)+n^2+n+1\)

\(=n[(n^3)^{658}-1]+n^2[(n^3)^{657}-1]+n^2+n+1\)

\(=n(n^3-1).A+n^2(n^3-1).B+n^2+n+1\) với $A,B$ là 2 đa thức dương

$=(n^3-1)(nA+n^2B)+(n^2+n+1)$

$=(n^2+n+1)[(n-1)(nA+n^2B)+1]$

Với $n=1$ thì $C=3$ nguyên tố (tm)

Với $n>1$ thì $n^2+n+1>2$ và $(n-1)(nA+n^2B)>2$

Do đó $C$ không là snt.

Vậy $n=1$

27	Đỗ Tuấn Kiệt
28 tháng 7 2023 lúc 13:59

.

 


Các câu hỏi tương tự
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Phương Trần Lê
Xem chi tiết
ILoveMath
Xem chi tiết
Võ Thị Thảo Minh
Xem chi tiết
Nữ hoàng sến súa là ta
Xem chi tiết
Ngọc Minh
Xem chi tiết
Blue Frost
Xem chi tiết
Nguyễn Tất Đạt
Xem chi tiết
Lê Trần Ngọc Hân
Xem chi tiết