Question

cho x+y+z=0. cm \(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\) 

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=(-z)^3-3xy(-z)+z^3$
$=(-z)^3+3xyz+z^3=3xyz$
Khi đó:

$2(x^5+y^5+z^5)=2[(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)-(x^3y^2+x^3z^2+y^3x^2+y^3z^2+z^3x^2+z^3y^2)]$

$=2[3xyz(x^2+y^2+z^2)-x^2y^2(x+y)-y^2z^2(y+z)-z^2x^2(z+x)]$

$=6xyz(x^2+y^2+z^2)-2[x^2y^2(-z)+y^2z^2(-x)+z^2x^2(-y)]$

$=6xyz(x^2+y^2+z^2)+2(x^2y^2z+y^2z^2x+x^2x^2y)$

$=6xyz(x^2+y^2+z^2)+2xyz(xy+yz+xz)$

$=6xyz(x^2+y^2+z^2)+xyz[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]$

$=6xyz(x^2+y^2+z^2)+xyz[0-(x^2+y^2+z^2)]$

$=6xyz(x^2+y^2+z^2)-xyz(x^2+y^2+z^2)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$

Ta có đpcm.