1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

CM được S,T,E thẳng hàng 

Xét tam giác ECT zà tam giác EST có \(\widehat{CET}\left(chung\right),\widehat{ECT}=\widehat{ESC}\)

=>tam giác ECT=tam giác EST(g.g) 

=>\(\frac{EC}{ES}=\frac{ET}{EC}=>ET.ES=EC^2\)

xét tam giác EMT zà tam giác ESN có \(\widehat{MET}\left(chung\right),\widehat{EMT}=\widehat{ESN}\)

=> tam giác ECT = tam giác ESN(g.g) 

=>\(\frac{EM}{ES}=\frac{ET}{EN}=>ET.ES=EM.EN=EM.EN\\\)

Nên \(EC^2=EM.EN=\left(=ET.ES\right)=\frac{EC}{EN}=\frac{EM}{EC}\)

tam giác ECM = tam giasc ENC (c.g.c)

=>\(\widehat{EMC}=\widehat{ENC}\)

=>\(\widehat{ECD}+\widehat{DCM}=\widehat{NAC}+\widehat{NCA}\)

mà \(\widehat{ECD=\widehat{NAC}}\)

nên \(\widehat{DCM}=\widehat{NCA}\)

ta có \(KL//AB=>\widebat{BK}=\widebat{AL}=>\widehat{DCM}=\widehat{LCA}\)

ta có\(\widehat{NCA}=\widehat{LCA}\left(=\widehat{DCM}\right)\)

=> hai tia CN , CL trùng nhau .zậy C,N,L thẳng hàng

Tứ giác ABMC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180^0\)

Mà \(\widehat{ACM}+\widehat{MCE}=180^0\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCE}\)

D và E cùng nhìn CM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow CDME\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MCE}=\widehat{MDE}\) (cùng chắn ME) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MDE}\)

Mặt khác D và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BFDM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{FDM}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MDE}+\widehat{FDM}=180^0\Rightarrow\) D, E, F thẳng hàng

Hình vẽ:

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .