Bài 2: 

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m-2)(m+2)<0

hay -2<m<2

Trường hợp 1: m=-1

Bất phương trình sẽ là \(0x^2-2\cdot0\cdot x+4>=0\)(luôn đúng)

Trường hợp 2: m<>-1

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\cdot4\cdot\left(m+1\right)\)

\(=4m^2+8m+4-16m-16\)

\(=4m^2-8m-12\)

\(=4\left(m^2-2m-3\right)\)

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thực thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+1\right)< 0\\\left(m+1\right)>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 3\\m>=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1< m< 3\)

Vậy: -1<=m<3

TH1: m+1=0 <=> m=-1

Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại

TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1

Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x 

<=> $\{\begin{array}{c}a>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m+1>0\\ {\left[-\left(m+1\right)\right]}^2-4\left(m+1\right)\le 0\end{array}$

<=>$\{\begin{array}{c}m>-1\\ m^2-2m-3\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m>-1\\ [\begin{array}{c}m<-1\\ m>3\end{array}\end{array}\iff m>3$

Vậy m>3 thì...

TH1: m+1=0 <=> m=-1

Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại

TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1

Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x 

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m^2-2m-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>3\)

Vậy m>3 thì...

ukm!!!!!!!

TH1: m+1=0 <=> m=-1

Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại

TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1

Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x 

<=> $\{\begin{array}{c}a>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m+1>0\\ {\left[-\left(m+1\right)\right]}^2-4\left(m+1\right)\le 0\end{array}$

<=>$\{\begin{array}{c}m>-1\\ m^2-2m-3\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m>-1\\ [\begin{array}{c}m<-1\\ m>3\end{array}\end{array}\iff m>3$

Vậy m>3 thì...

Đặt \(x^2+4x+3=t\left(t\ge-1\right)\)

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x+6\right)\ge m,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)^2+3\left(x^2+4x+3\right)\ge m,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow m\le f\left(t\right)=t^2+3t,\forall x\in R\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(m\le minf\left(t\right)=-2\)

\(x^2+10x+16\le0\Rightarrow-8\le x\le-2\)

Xét BPT: \(mx\ge3m+1\Leftrightarrow m\left(x-3\right)\ge1\) trên \(\left[-8;-2\right]\)

Do \(-8\le x\le-2\Rightarrow x-3< 0\)

Do đó BPT tương đương:

\(m\le\dfrac{1}{x-3}\) (1)

(1) vô nghiệm khi và chỉ khi \(m>\max\limits_{\left[-8;-2\right]}\dfrac{1}{x-3}\)

\(\Rightarrow m>-\dfrac{1}{5}\)

2: \(-4x^2+5x-2\)

\(=-4\left(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=-4\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{8}+\dfrac{25}{64}+\dfrac{7}{64}\right)\)

\(=-4\left(x-\dfrac{5}{8}\right)^2-\dfrac{7}{16}< =-\dfrac{7}{16}< 0\forall x\)

Sửa đề:\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}\)

Để f(x)>0 với mọi x thì \(\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}>0\forall x\)

=>\(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2< 0\forall x\)(1)

\(\text{Δ}=\left[\left(4m+4\right)\right]^2-4\cdot\left(-1\right)\left(1-4m^2\right)\)

\(=16m^2+32m+16+4\left(1-4m^2\right)\)

\(=32m+20\)

Để BĐT(1) luôn đúng với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}32m+20< 0\\-1< 0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>32m+20<0

=>32m<-20

=>\(m< -\dfrac{5}{8}\)

1: Δ=(2m-2)^2-4(2m-5)

=4m^2-8m+4-8m+20

=4m^2-16m+24

=4m^2-16m+16+8

=(2m-4)^2+8>=8>0 với mọi m

=>PT luôn có 2 nghiệm pb

2: Để pt có hai nghiệm trái dấu thì 2m-5<0

=>m<5/2

3: A=(x1+x2)^2-2x1x2

=(2m-2)^2-2(2m-5)

=4m^2-8m+4-4m+10

=4m^2-12m+14

=4(m^2-3m+7/2)

=4(m^2-2m*3/2+9/4+5/4)

=4(m-3/2)^2+5>=5

Dấu = xảy ra khi m=3/2

`1)` Ptr có: `\Delta'=[-(m-1)]^2-2m+5`

                             `=m^2-4m+4+2=(m-2)^2+2 > 0 AA m`

  `=>` Ptr có `2` nghiệm phân biệt `AA m`

`2)` Ptr có `2` nghiệm trái dấu `<=>ac < 0`

          `<=>2m-5 < 0<=>m < 5/2`

`3) AA m` ptr có `2` nghiệm phân biệt

  `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m-2),(x_1.x_2=c/a=2m-5):}`

Ta có: `A=x_1 ^2+x_2 ^2`

`<=>A=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2`

`<=>A=(2m-2)^2-2(2m-5)`

`<=>A=4m^2-8m+4-4m+10`

`<=>A=4m^2-12m+14`

`<=>A=(2m-3)^2+5 >= 5 AA m`

   `=>A_[mi n]=5`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>2m-3=0<=>m=3/2`

a/ Xét pt :

\(x^2-2\left(m-1\right)+2m-5=0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-2m+1-2m+5=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

b/ Phương trình cớ 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow2m-5< 0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)

c/ Theo định lí Vi - et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m+10\)

\(=4m^2-12m+14=4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)+5=4\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+5\ge5\)

\(A_{min}=5\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

1, \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m 

2, Vì pt có 2 nghiệm trái dấu 

\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-5< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)

3, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-12m+14=4m^2-2.2m.3+9+6\)

\(=\left(2m-3\right)^2+6\ge6\forall m\)

Dấu ''='' xảy ra khi m = 3/2 

Vậy với m = 3/2 thì A đạt GTNN tại 6 

1: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4m^2-16m+16+8\)

\(=\left(2m-4\right)^2+8>0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-5<0

hay m<5/2

3: \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(2m-2\right)^2-2\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m+10\)

\(=4m^2-12m+14\)

\(=4m^2-12m+9+5\)

\(=\left(2m-3\right)^2+5\ge5\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=3/2