Câu hỏi của Amory Chris - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có :\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.a.h_a=\dfrac{1}{2}.b.h_b=\dfrac{1}{2}.c.h_c\)

\(\Rightarrow a.h_a=b.h_b=c.h_c=2S_{ABC}=2\)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có :

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\ge\left(a.h_a+b.h_b+c.h_c\right)^2=36\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

Đăng lâu nhỉ

đăngg nhiều vậy linh, mà  đã làm đến đề đó rồi cơ à chăm thế

Trong câu hỏi hay t có giải rồi đó. Vô đó xem đi

Câu hỏi của Fresh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo lời giải tại link trên nhé.

Ta có: AB = c; AC = b; BC = a.

Qua A vẽ đường thẳng d song song với BC. Lấy B' đối xứng với B qua d.

Dễ thấy BB' = 2h_a

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông BB'C, ta được:

\(BB'^2+BC^2=B'C^2\le\left(B'A+AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2h_a\right)^2+a^2\le\left(c+b\right)^2\)

\(\Rightarrow4h_a^2\le\left(c+b\right)^2-a^2\)

Tương tự ta có: \(\Rightarrow4h_b^2\le\left(c+a\right)^2-b^2\);\(\Rightarrow4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2\)

Cộng từng  vế của các BĐT trên. ta được:

\(4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\text{Σ}_{cyc}\left(c+b\right)^2-a^2\)

\(\Rightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

Vậy \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\left(đpcm\right)\)

Áp dụng công thức đường trung tuyến

\(m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{c^2+a^2}{2}-\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}\)

                          \(=\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Chọn A