Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (BC là tiếp điểm). M là trung điểm AC đoạn MB cắt đường tròn (O) tại K (K khác B). Tia AK cắt đường tròn (O) tại D ( D khác K). CMR BD // AC
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điêmr AC. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K. Tia AK cắt (O) tại D. CMR: BD song song với AC
Ta có: ΔMKC∼ΔMCB(g.g)ΔMKC∼ΔMCB(g.g)
→MC2=MK.MB→MA2=MK.MB(MA=MC)→MC2=MK.MB→MA2=MK.MB(MA=MC)
→ΔMAK∼ΔMBA(c.g.c)→ΔMAK∼ΔMBA(c.g.c)
→ \(\widehat{MAK}=\widehat{MBK}=\widehat{BDK}\)
→BD//AM→BD//AC→BD//AM→BD//AC
Cho điểm A nàm noài đường tròn O . Kẻ 2 tiếp tuyến AB , AC . M là trung điểm AC . MB cắt đường tròn tại K , AK cắt đường tròn tại O . CMR : BD song song với AC
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn tâm O (B và C là hai tiếp điểm). Vẽ BD song song với AC ( D thuộc đường tròn tâm O), AD cắt đường tròn O tại K. Tia BK cắt AC tại I. CMR: I là trung điểm của AC
từ điểm A ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC với đường tròn . M là trung diểm AC ,MB cắt đường tròn O tại K, AK cắt đường tròn O tại D. chứng minh BD//AC
các bạn giúp mình nhé mình cần gấp lắm rồi .cảm ơn
(4) cho đường tròn tâm (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB vs đường tròn (B là tiếp điểm). kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C)
a) c/m: BD ⊥AC và \(AB^2=AD.AC\)
b) từ C vẽ dây CE//OA, BE cắt OA tại H. c/m: H là trg điểm BE và AE là tiếp tuyến đg tròn (O)
c) c/m: \(\widehat{OHC}=\widehat{OAC}\)
d) tia OA cắt đg tròn (O) tại F. c/m: \(FA.CH=HF.CA\)
giúp mk vs ạ mai mk học rồi
a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
DO đó:ΔBDC vuông tại D
Xét ΔBCA vuông tại B có BD là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AB^2=AD\cdot AC\)
từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Đường tròn I đường kính AB cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại D (D khác B).
b) gọi K là giao điểm của OI với BD. Chứng minh tứ giác AIKH nội tiếp.
c) Đường tròn (I) cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm của OA với BE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K.
b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=900.
Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC
=> AO vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=900.
Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=900 => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB
=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB
Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 1800 nên ^HAI + ^KHI = 1800
=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD
\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC
Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC
=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 1800 (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)
Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 1800 (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)
Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 3600
<=> ^HKI = 3600 - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.
Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)
=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.
Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK
=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn(O;R) sao cho OM =2R. Kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn(O;R) (A,B là các tiếp điểm). Đoạn thảng MO cắt đường tròn (O;R)tại P và cắt AB tại H. Tia AO cắt đường tròn (O;R) tại D và cắt tia MB tại K. Nối PK cắt BD tại G
a)CM 4 điểm M,A,O,B cùng nằm trên đường tròn
b) CM MO//BD
c) CM OG vuông góc với BD
d)Từ trung điểm I của AH vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt đường tròn (O;R) tại Q và J. CM MO là tiếp tuyến của (A;AQ)
1. Cho (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A và B. Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác điểm A. Qua M vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O') (C, D là tiếp điểm và C nằm ngoài (O). Đường thẳng AC cắt (O) tại P (khác A), AD cắt (O) tại Q (khác A). CD cắt PQ tại K
a) Chứng minh ΔBCDđồng dạng với ΔBPQ
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KPC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
c) Chứng minh OK vuông góc với PQ
2. cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC(B, C là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại E. AE cắt (O) tại D, BD cắt AC tại M. CHứng minh M là trung điểm của AC
Bài 2:
Ta thấy EB // AC nên \(\frac{EB}{MA}=\frac{ED}{DA}\Rightarrow AM.ED=EB.DA\) (1)
Do EB//AC nên \(\widehat{BCA}=\widehat{CBE}\Rightarrow\widebat{EC}=\widebat{CB}\)
Vậy thì \(2.\widehat{DMC}=\widebat{BC}-\widebat{DC}=\widebat{EC}+\widebat{EB}-\widebat{DC}=\left(\widehat{CB}-\widebat{DC}\right)+\widebat{EB}=\widebat{ED}=2.\widehat{DCE}\)
\(\Rightarrow\widehat{DMC}=\widehat{DCE}\)
Mà \(\widehat{DEC}=\widehat{DCM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\Delta EDC\sim\Delta CDM\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{ED}{CD}=\frac{EC}{CM}\Rightarrow CM.ED=CD.EC\) (2)
Từ (1) và (2) ta thấy, muốn chứng minh CM = MA, ta chỉ cần chứng minh EB.DA = CD.EC
Lại có \(\widebat{CE}=\widebat{CB}\Rightarrow CE=CB\)
Vậy ta cần chứng minh: EB.DA = CD.BC
Ta có \(\widehat{DAC}=\frac{\widebat{EC}-\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{BC}-\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{DB}}{2}=\widehat{DCB}\)
Vậy nên ta có ngay \(\Delta DBC\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CA}\Rightarrow BC.CD=BD.CA\left(3\right)\)
Ta dễ dàng thấy ngay \(\Delta BDA\sim\Delta EBA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{EB}=\frac{DA}{BA}=\frac{DA}{CA}\Rightarrow EB.DA=BD.CA\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) ta có \(EB.DA=BC.CD\)
Từ đó suy ra MC = MA hay M là trung điểm của AC (đpcm).
Bài 1:
a) Ta thấy \(\widehat{QPB}=\widehat{QAB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung QB)
Ta cũng lại có \(\widehat{QAB}=\widehat{DAB}=\widehat{DCB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB)
Vậy nên \(\widehat{QPB}=\widehat{DCB}\) (1)
Ta thấy tứ giác PQBA nội tiếp nên \(\widehat{PQB}+\widehat{PAB}=180^o\)
Lại có \(\widehat{BAC}+\widehat{PAB}=180^o\Rightarrow\widehat{PQB}=\widehat{BAC}\)
Mà \(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\Rightarrow\widehat{PQB}=\widehat{CDB}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta PQB\sim\Delta CDB\left(g-g\right)\)
b) Do \(\Delta PQB\sim\Delta CDB\Rightarrow\widehat{KPB}=\widehat{KCB}\)
Xét tứ giác PKBC có \(\widehat{KPB}=\widehat{KCB}\) nên PKBC là tứ giác nội tiếp
Vậy thì B luôn thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác KPC.
Nói cách khác, đường tròn ngoại tiếp tam giác KPC luôn đi qua điểm B cố định.
c) Gọi H là giao điểm của OO' và AB
Ta thấy ngay rằng 5 điểm M, D, H, O' ,C cùng thuộc đường tròn đường kính MO'.
Vậy nên \(\widehat{DHA}=\widehat{DHM}=\widehat{DO'M}=\frac{\widehat{DO'C}}{2}\) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta cũng có \(\widehat{DBC}=\frac{\widehat{DO'C}}{2}\) (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DBC}\) (3)
Dễ thấy rằng \(\widehat{DAH}=\widehat{DAB}=\widehat{DCB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta ADH\sim\Delta CDB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{CB}=\frac{AD}{CD}\Rightarrow\frac{AH.CD}{CB.AD}=1\)
Theo câu a, \(\Delta PQB\sim\Delta CDB\Rightarrow\frac{PQ}{CD}=\frac{PB}{CB}\Rightarrow PQ=\frac{CD.PB}{CB}\)
Ta có \(\widehat{KPB}=\widehat{QPB}=\widehat{QAB}=\widehat{DAB}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
\(\widehat{PBK}=\widehat{PCK}=\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\Delta PKB\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{PK}{AD}=\frac{PB}{AB}\Rightarrow PK=\frac{AD.PB}{AB}\)
Vậy thì \(\frac{PQ}{PK}=\frac{CD.PB}{BC}.\frac{AB}{AD.PB}=\frac{CD.AB}{BC.AD}=\frac{CD.2.AH}{BC.AD}=2.\frac{CD.AH}{BC.AD}=2\)
\(\Rightarrow\) K là trung điểm PQ.
Theo tính chất đường kính dây cung ta có \(OK\perp PQ\left(đpcm\right)\)
CÔ HOÀNG THỊ THU HUYỀN GIÚP EM VỚI
1. Cho (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A và B. Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác điểm A. Qua M vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O') (C, D là tiếp điểm và C nằm ngoài (O). Đường thẳng AC cắt (O) tại P (khác A), AD cắt (O) tại Q (khác A). CD cắt PQ tại K
a) Chứng minh ΔBCDđồng dạng với ΔBPQ
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KPC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
c) Chứng minh OK vuông góc với PQ
2. cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC(B, C là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại E. AE cắt (O) tại D, BD cắt AC tại M. CHứng minh M là trung điểm của AC
mik ko giúp đc
chúc hok tốt nha b