Cho c>d. Tìm điều kiện của a và b để pt sau có 2 nghiệm phân biệt
\(\frac{a^2}{x-c}+\frac{b^2}{x-d}=1\)
3.3. Cho pt: x ^ 2 - 4x + m = 0 (1). a) Tìm điều kiện của m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt . b) Giải pt (1) với m = 3 .
Lời giải:
a. Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì: $\Delta'=(-2)^2-m>0$
$\Leftrightarrow 4-m>0$
$\Leftrightarrow m< 4$
b. Với $m=3$ thì pt trở thành: $x^2-4x+3=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0$
$\Leftrightarrow x-1=0$ hoặc $x-3=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3$
Tìm điều kiện a,b để phương trình \(\frac{a}{x-b}+\frac{b}{x-a}=2\)có hai nghiệm phân biệt
\(\frac{a}{x-b}+\frac{b}{x-a}=2\)(1)
DK: \(x\ne a;b\)
\(\frac{a}{x-b}+\frac{b}{x-a}=2\)
<=> \(a\left(x-a\right)+b\left(x-b\right)=2\left(x-a\right)\left(x-b\right)\)
<=> \(ax-a^2+bx-b^2=2x^2-2ax-2bx+2ab\)
<=> \(2x^2-3\left(a+b\right)x+\left(a+b\right)^2=0\)(2)
phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác a, b
<=> \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\x\ne a\\x\ne b\end{cases}}\)Em làm tiếp nhé
Cho pt : x2 - 2(m-3) x + m2 - 1 = 0 ( m là tham số ). Tìm m để pt : a) vô nghiêm b) có nghiệm c) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép d) có 2 nghiệm phân biệt
Ta có: \(\Delta=4\left(m-3\right)^2-4.\left(m^2-1\right)\)
a. Để phương trình vô nghiệm thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2< m^2-1\Leftrightarrow m^2-6m+9< m^2-1\Leftrightarrow6m>10\Leftrightarrow m>\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)
b. Để phương trình có nghiệm thì:
\(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2\ge m^2-1\Leftrightarrow m^2-6m+9\ge m^2-1\Leftrightarrow6m\le10\Leftrightarrow m\le\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)
c. Để phương trình có nghiệm kép thì:
\(\Delta=0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2=m^2-1\Leftrightarrow m^2-6m+9=m^2-1\Leftrightarrow6m=10\Leftrightarrow m=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)
Nghiệm kép của phương trình là: \(\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{2\left(m-3\right)}{2.1}=\dfrac{2\left(\dfrac{5}{3}-3\right)}{2}=-\dfrac{4}{3}\)
d. Để phương trình có nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2>m^2-1\Leftrightarrow m^2-6m+9>m^2-1\Leftrightarrow6m< 10\Leftrightarrow m< \dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)
a, Để pt vô nghiệm
\(\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(m^2-1\right)=-6m+9+1=-6m+10< 0\Leftrightarrow m>\dfrac{5}{3}\)
b, Để pt có nghiệm
\(\Delta'=-6m+10\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{5}{3}\)
c, Để pt có nghiệm kép
\(\Delta'=-6m+10=0\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{3}\)
\(x_1=x_2=\dfrac{2\left(m-3\right)}{2}=m-3\)
d, Để pt có 2 nghiệm pb
\(\Delta=-6m+10>0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{3}\)
cho pt: \(x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-1=0\) (1)
a) tìm điều kiện của m để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
b) tìm m để 2 ngiệm \(x_1\), \(x_2\) của pt (1) t/m: \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
giúp mk vs mk cần gấp
a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=5-4m>0\)
\(\Rightarrow m< \dfrac{5}{4}\)
b. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=5-4m\)
Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=5-4m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\4x_2=6m-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_2=\dfrac{3m-3}{2}\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=m^2-1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{m+1}{2}\right)\left(\dfrac{3m-3}{2}\right)=m^2-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Rightarrow m=\pm1\) (thỏa mãn)
cho phương trình x^2-(a-1)x-a^2+a-2=0
a, giải pt khi a=1
b, Tìm a để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x1^2+x2^2 đạt GTNN
a, Khi a = 1 thì pt trở thành
\(x^2-0x-1+1-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2=0\)
\(\Leftrightarrow x=\pm2\)
b, Pt có 2 nghiệm phân biệt khi
\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2-4\left(-a^2+a-2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+4a^2-4a+2>0\)
\(\Leftrightarrow5a^2-6a+3>0\)
\(\Leftrightarrow5\left(a^2-\frac{6}{5}a+\frac{9}{25}\right)+\frac{6}{5}>0\)
\(\Leftrightarrow5\left(a-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{6}{5}>0\)(Luôn đúng)
Nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm p/b
Theo Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=a-1\\x_1.x_2=-a^2+a-2\end{cases}}\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(a-1\right)^2+2a^2-2a+2\)
\(=a^2-2a+1+2a^2-2a+2\)
\(=3a^2-4a+3\)
\(=3\left(a^2-\frac{4}{3}a+\frac{4}{9}\right)+\frac{5}{3}\)
\(=3\left(a-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{5}{3}\ge\frac{5}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=\frac{2}{3}\)
Vậy /............./
Cho pt x2 -2mx+2m-1=0
a) Giải pt vs m=4
b) tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm =10
d) Gọi x1;x2 là 2 nghiệm của pt
a/ \(m=4\to x^2-8x+7=0\\\leftrightarrow x^2-7x-x+7=0\\\leftrightarrow x(x-7)-(x-7)=0\\\leftrightarrow (x-1)(x-7)=0\\\leftrightarrow x-1=0\quad or\quad x-7=0\\\leftrightarrow x=1\quad or\quad x=7\)
b/ Pt có 2 nghiệm phân biệt
\(\to \Delta=(-2m)^2-4.1.(2m-1)=4m^2-8m+4=4(m^2-2m+1)=4(m-1)^2\ge 0\)
\(\to m\in \mathbb R\)
c/ Theo Viét
\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}\)
Tổng bình phương các nghiệm là 10
\(\to x_1^2+x_2^2\\=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m)^2-2.(2m-1)=4m^2-4m+2\)
\(\to 4m^2-4m+2=10\)
\(\leftrightarrow 4m^2-4m-8=0\)
\(\leftrightarrow m^2-m-2=0\)
\(\leftrightarrow m^2-2m+m-2=0\)
\(\leftrightarrow m(m-2)+(m-2)=0\)
\(\leftrightarrow (m+1)(m-2)=0\)
\(\leftrightarrow m+1=0\quad or\quad m-2=0\)
\(\leftrightarrow m=-1(TM)\quad or\quad m=2(TM)\)
Vậy \(m\in\{-1;2\}\)
Cho pt: (m-1)x4 + 2x2 -3 = 0. Tìm điều kiện của m để pt:
a) Vô nghiệm
b) Có 1 nghiệm
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có 3 nghiệm phân biệt
e) Có 4 nghiệm phân biệt
Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow\left(m-1\right)t^2+2t-3=0\) (1)
Với \(m=1\Rightarrow t=\frac{3}{2}\)
Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta'=1+3\left(m-1\right)=3m-2\)
a/ \(m=1\) ko thỏa mãn
Để pt vô nghiệm \(\Rightarrow\Delta'< 0\Rightarrow m< \frac{2}{3}\) hoặc (1) có 2 nghiệm đều âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=\frac{2}{1-m}< 0\\t_1t_2=\frac{3}{1-m}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
Vậy \(m< \frac{2}{3}\)
b/ Để pt có đúng 1 nghiệm \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có đúng 1 nghiệm \(t=0\Rightarrow-3=0\) (vô lý)
Vậy ko tồn tại m thỏa mãn
c/ Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow\left(1\right)\) có đúng 1 nghiệm dương
\(m=1\) thỏa mãn
Với \(m\ne1\):
TH1: \(\Delta'=0\Rightarrow m=\frac{2}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{1-m}=3>0\) thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\t_1t_2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{3}{1-m}< 0\Rightarrow1-m< 0\Rightarrow m>1\)
Vậy: \(\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{2}{3}\\m\ge1\end{matrix}\right.\)
d/ Để pt đã cho có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
\(\Rightarrow-3=0\) (vô lý)
Không tồn tại m thỏa mãn
e/ Để pt có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-2>0\\t_1+t_2>0\\t_1t_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\frac{2}{3}\\\frac{2}{1-m}>0\\\frac{3}{1-m}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}< m< 1\)
Bài 1: Cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\)
a, CM pt có nghiệm với mọi m
b, Tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1^2 + x2^2\(\ge\)10
Bài 2: cho pt \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+1=0\)
a, CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m khác 1
b, Tìm m để pt có tích nghiệm bằng 5
Từ đó tính tổng 2 nghiệm
c, Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với mọi m
d, Tìm m để pt có nghiệm thỏa mãn hệ thức \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{5}{2}=0\)
Giúp mk vs ạ!!! Cảm ơn m.n nhìu ạ
Bài 1/
a/ Ta có: ∆' = (m - 1)2 + 3 + m
= m2 - m + 4 = \(\frac{15}{4}+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2>0\)
Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3-m\end{cases}}\)
Theo đ
Bài 1/
a/ Ta có: ∆' = (m - 1)2 + 3 + m
= m2 - m + 4 = \(\frac{15}{4}+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2>0\)
Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3-m\end{cases}}\)
Theo đề bài thì
\(x^2_2+x^2_1\ge10\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge10\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(-3-m\right)\ge0\)
Làm tiếp sẽ ra. Câu còn lại tương tự
cho A=\(\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
điều kiện xác định:\(x\ne1\) \(x\ge0\)
tìm \(mA=\sqrt{x}-2\)
để pt có 2 nghiệm phân biệt
Lời giải:
$mA=\sqrt{x}-2$
$\Leftrightarrow \frac{m(2\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-2$
$\Rightarrow m(2\sqrt{x}-1)=(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)$
$\Leftrightarrow 2m\sqrt{x}-m=x-\sqrt{x}-2$
$\Leftrightarrow x-\sqrt{x}(2m+1)+(m-2)=0(*)$
Để pt ban đầu có 2 nghiệm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
Điều này xảy ra khi mà:
\(\left\{\begin{matrix}\
\Delta=(2m+1)^2-4(m-2)>0\\
S=2m+1>0\\
P=m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4m^2+9>0\\
m> \frac{-1}{2}\\
m>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>2\)