Cho tứ giác ABCD có AC>BD. Lấy các điểm M, P theo thứ tự trên các đoạn AB, AC sao cho \(\frac{AM}{AB}=\frac{CP}{CD}\). Trên tia CA lấy K sao cho CK=KD. Gọi H, O lần lượt là trung điểm của BK và AC. Qua M, P kẻ các đường thẳng song song với BK, cắt AH, CH theo thứ tự tại N và Q. a) CMR: MN=PQ 
     b) CMR: NQ song song với AC. Từ đó chứng minh H, O và trung điểm I của MP thẳng hàng

\(Bài 1. Cho góc xOy, có Ot là tia phân giác. Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB. Vẽ đoạn thẳng AB cắt Ot tại M. Chứng minh a) OAM = OBM; b) AM = BM; OM  AB c) OM là đường trung trực của AB d) Trên tia Ot lấy điểm N . Chứng minh NA = NB Bài 2. Cho ABC vuông tại A, trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = CA, từ K kẻ KE vuông góc với đường thẳng AC. Chứng mỉnhằng: a) AB // KE b)  ABC =  KEC ; BC = CE Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B,D sao cho OA = OB, AC = BD. a) Chứng minh: AD = BC. b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh: EAC = EBD c) Chứng minh: OE là phân giác của góc xOy, OE CD Bài 4. Cho ABC coù BÂ=900, gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Tính  BCE b) Chứng minh BE // AC. Bài 5. Cho ABC, lấy điểm D thuộc cạnh BC ( D không trùng với B,C). Gọi Mlà trung điểm của AD. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME= MB, trên tia đối của tia MC lấy điểm F sao cho MF= MC. Chứng minh rằng: a) AME = DMB; AE // BC b) Ba điểm E, A, F thẳng hàng c) BF // CE Bài 6: Cho có  B =  C , kẻ AH  BC, H  BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh: a) AB = AC b) ABD = ACE c) ACD = ABE d) AH là tia phân giác của góc DAE e) Kẻ BK  AD, CI  AE. Chứng minh ba đường thẳng AH, BK, CI cùng đi qua một điểm. \)

Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, lấy M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.

a) Chứng minh $\Delta$AMB = $\Delta$DMC;

b) Chứng minh AC // BD;

c) Kẻ AH ⊥ BC, DK ⊥ BC (H, K thuộc BC). Chứng minh BK = CH;

d) Gọi I là trung điểm của AC, vẽ điểm E sao cho I là trung điểm của BE. Chứng minh C là trung điểm của DE.

Cho tam giác ABC có AB=AC và M là trung điểm củ BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE.

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA.

a) Chứng minh AC = BM và AC // BM.

b) Chứng minh  ∆ A B M   = ∆ M C A .

c) Kẻ A H   ⊥ B C ,   M K ⊥   B C   ( H ,   K   ∈   B C ) . Chứng minh BK = CH.

d) Chứng minh HM // AK.

Cho tam giác ABC có AB=AC và M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE

a) Chứng minh tam giác ABM= tam giác ACM từ đó suy ra AM vuông góc vs BC

b) Chứng minh tam giác ABD= tam giác ACE từ đó suy ra AM là tia phân giác của góc DAE

c) Kẻ BK vuông góc AD( K thuộc AD) trên tia đối của tia BK lấy điểm H sao cho BH=AE, trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN=CE, Chứng minh góc MAD= góc MBH