Trên (C) bán kính = 1 cho 2019 điểm phân biệt A1, A2, A3....A2019. Cmr tồn tại 1 điểm M trên (C) thỏa mãn MA1 + MA2 + ...+ MA2019 > 2019
cho 2014 điểm a1,a2,...a2014 và 1 đường tròn bán kính 1 đợn vị. chứng minh rằng luôn tồn tại một điểm M sao cho Ma1,Ma2,....Ma2014 >=2014
Cho 1000 điểm a1,a2,a3,...,a1000 trên mặt phẳng . Vẽ 1 đường trọn có bán kính bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại điểm M sao cho Ma1+Ma2+...+Ma1000\(\ge\)1000
1) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 42019 +3n có chữ số tận cùng là 7
2) Tìm các bộ số tự nhiên (a1,a2,a3,...,a2019) thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}a1+a2+a3+...+a2019\ge2019^2\\a1^2+a2^2+a3^2+...+a2019^2\le2019^3+1\end{cases}}\)
bài 2
Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được
\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)
\(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)
Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)
*Nếu A = 0
Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)
Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)
*Nếu A = 1
\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)
Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0
Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019
Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)
Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)
Thử lại...(tự thử nhé)
Vậy...
Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4
Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3
Mà n là số tự nhiên nên n = 1
2. Chứng minh : Với n là số tự nhiên:
Ta chứng minh: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)
\(\text{Chứng minh quy nạp}\):
+) Với n=1, n=2 thỏa mãn
+)Giả sử đúng với n=k \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_k\)
+) Ta chứng minh đúng vs : \(n=k+1\)
Thật vậy: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2)+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac {A^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac {(A+a_{k+1})^2}{k+1} \)
\(\Leftrightarrow \left(k+1\right)A^2+k\left(k+1\right)a^2_{k+1}=k\left(A^2+2Aa_{k+1}+a^2_{k+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2+k^2a^2_{k+1}-2kAa_{k+1}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (A-ka_{k+1})^2\geq 0\) ( luôn đúng)
Do đó: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{k+1})^2}{k+1}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_{k+1}\)
Vậy: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)với mọi n là số tự nhiên
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)
\(\text {Quay lại bài Toán của chúng ta}\):
Vậy \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{2019}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)
=> \(2019^3+1\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)
Hay \(2019^4\leq (a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2\leq 2019^4+2019<(2019^2+1)^2\)
Suy ra \(a_1+a_2+a_3+...+a_n=2019^2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=a_3=...=a_n=2019\)
1,Cho 2000 số A1,A2,A3,...A2000 là các số TN thỏa mãn: 1/A1+1/A2+1/A3+....+1/A2000=1. CMR tồn tại ít nhất 1 số Ak là số chẵn
2,Gọi A1,A2,A3,...A100 là các số TN thỏa mãn: 1/A21+1/A22+....+1/A1002=199/100. CMR có ít nhất 2 số TN trong các số trên =nhau
3,Cho 2021 số nguyên dương A1,A2,....,A2021 thỏa mãn 1/A1+1/A2+1/A3+.....+1/A2021=1011. CMR ít nhất 2 trong đó = nhau
Giúp mình với nha!
cho 2016 số nguyên dương a1 ;a2;a3;.....2016 thỏa mãn 1/a1+1/a2+...+1/a2016 cmr tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Cho a1/a2=a2/a3=a3/a4=....=a2018/a2019
C/minh a1/a2019=(a1+a2+a3+...+a2018/a2+a3+a4+...+a2019) mu 2018
mình đang cần gấp sắp đến giờ học ở trung tâm rồi ! không có bài mình chết chắc . nhanh lên giùm mình nha!thanks you.
Tính giá trị biểu thức :
A = [ (a+b)2019 - c2019 ] [ (b+c)2019 - a2019 ] [ (a+c)2019 - b2019 ]
bài 1: tìm x biết: a,|x-2019|^2020+|x-2020|^2019=1
b, |x-3|^40+|x-4|^30=1
bài 2: với x a b thuộc Z b+x+3=2^4 và 3x+1=4^b
bài 3 : chứng minh 1 số chính phương chi cho 8 dư 0,1,4
bài 4: có tồn tại a1;a2;................;a6 ( 1,2,...là các chỉ số) là các số nguyên lẻ thỏa mãn để a1^2+a2^2+a3^2 a4^2+a5^2=a6^2 (1,2,3,4,5,6là các chỉ số)
Gọi \(\text{a1,a2,a3,...,a2000}\) là các số tự nhiên thỏa mãn: \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a2000}=1\). CMR tồn tại một số \(ak\)là số chẵn.