Trên 3 canh AB, BC, AC của \(\Delta\)ABC lấy điểm M, N, P sao cho \(\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k\). Tìm GTNN của SMNP khi SABC không đổi.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 2 2020 lúc 20:45
Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM : MB = BN : NC = PC : PA.
a)Tính tỉ số Smnp theo Sabc và theo k
b)Tính k sao cho Smnp đạt giá trị nhỏ nhất
a, Đặt: \(\hept{\begin{cases}S_1=S_{PMA}\\S_2=S_{NMB}\\S_3=S_{PNC}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{S_1}{S}=\frac{AM.AP}{AB.AC}\)
Và: \(\frac{S_2}{S}=\frac{BM.BN}{AB.CB}\)
Và: \(\frac{S_3}{S}=\frac{CP.CN}{AC.BC}\)
Ta có: \(\frac{AM}{MB}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AM+MB}=\frac{k}{k+1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{k}{k+1}\)
\(\frac{CP}{PA}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AP}{CP}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow\frac{AP}{AP+CP}=\frac{1}{k+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AP}{AC}=\frac{1}{k+1}\Rightarrow\frac{S_1}{S}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{S_2}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\) và \(\frac{S_3}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=S\left(1-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)\)
b, \(S_{MNP}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)lớn nhất.
Ta có: \(\left(k+1\right)^2\ge4k\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow Max\left[\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\right]=\frac{1}{4}\)
Khi \(k=1\Leftrightarrow M,P,N\) là trung điểm của \(AB,BC,CA\) và \(Min_{S_{MNP}}=S\left[1-\frac{3.1}{\left(1+1\right)^2}\right]=\frac{S}{4}\)
(Cũng không chắc)
giải thích thêm chỗ S1/S, S2/S, S3/S
Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM : MB = BN : NC = PC : PA.
a)Tính tỉ số Smnp/Sabc
b)Tìm tỉ số sao cho S tam giác MNP = 28% S tam giác ABC
Cho tam giác ABC. Lấy M trên cạnh AB, điểm P trên cạnh AC, sao cho MP cắt BC tại N.
CMR:\(\frac{AM}{MB}\)x \(\frac{BN}{NC}\)x \(\frac{CP}{PA}\)=1
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 27cm2 . Lấy các điểm M,N,P lần lượt trên cạnh AB,BC,CA sao cho \(\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}\)
Tính diện tích tam giác MNP
cho hình tam giác abc .trên ab lấy điểm p sao cho ap=pb*2 . trên bc lấy điểm m sao cho mb = mc *2 . trên ac lấy điểm n sao cho nc = nà*2. am và bn cắt nhau tại e, cp cắt am tại g và cắt pn tại d . so sánh Sdeg và Sabc
Trên 3 cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy 3 điểm M,N,P tm:
\(\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{BA}=k\). Tìm k để: SMNP = \(\frac{1}{3}\)SABC
+, Xét ΔABC và ΔMNP có :
AM/MB = BN/NC = CP/PA ( GT )
=> ΔABC ~ ΔMNP ( c - c - c )
=> AM/MB = BN/NC = CP/PA = k
Mà tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng
=> SMNP / SABC = k2
Để SMNP=1/3 SABC ( SMNP/SABC=1/3)thì :
k2 = SMNP / SABC=1/3
=> k = 1 / 9
Vậy để có tỉ số diện tích trên thì k = 1 / 9
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tam giác ABC. trên các cạnh AB, BC ,CA lấy các điểm M, N, P sao cho AM/MB=4, BN/NC=3, CP/PA=4. Gọi I là giao điểm của AN và MP. tính IP/IM
cho tam giác ABC có diện tích là 27 cm2. Lấy các điểm M,N,P sao cho \(\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}\) tính diện tích MNP
Trên các cạnh của AB, AC của ΔABC lần lượt lấy điểm M và N sao cho \(\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\) Gọi I là trung điểm của BC, K là giao điểm của AI và MN. Chứng minh KM=KN