Đặt 7p + 1 = n^3 (n > 2)

=> 7p = (n - 1)(n^2 + n + 1)

Ta có 2 TH :

TH1 : n -  1  = 7 \(\forall\)n^2 + n +1 = p => n = 8 => p = 73

TH2 : n - 1 = p \(\forall\) n^2 + n + 1 =7 => ....

Lời giải:

Đặt 7�+1=�37p+1=a3 với $a$ là số tự nhiên.

⇔7�=�3−1=(�−1)(�2+�+1)⇔7p=a3−1=(a−1)(a2+a+1)

Đến đây có các TH: 

TH1: �−1=7;�2+�+1=�a−1=7;a2+a+1=p

$\Rightarrow a=8;p=73$ (tm) 

TH2: �−1=�,�2+�+1=7a−1=p,a2+a+1=7

$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-3$

$\Rightarrow p=1$ hoặc $p=-4$ (không thỏa mãn) 

TH3: �−1=7�;�2+�+1=1a−1=7p;a2+a+1=1 (dễ loại) 

TH4: �−1=1; �2+�+1=7�a−1=1; a2+a+1=7p (cũng dễ loại)

Lý thuyết : 

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Mọi số tự nhiên >1 bao giờ cũng có ước nguyên tố . 
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước 
- Tập hợp số nguyên tố là vô hạn 
- Số 0 và 1 không phải là số nguyên tố; cũng không là hợp số 
- Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 
- Số a và b gọi là 2 số nguyên tố cùng nhau 
- p là số nguyên tố; p > 2 có dạng : p = 4n + 1 hoặc p= 4n+3 
- p là số nguyên tố; p > 3 có dạng : p = 6n +1 hoặc p =6n + 5 
- Ước nguyên tố nhỏ nhất của hợp số N là 1 số không vượt quá √N 
- số nguyên tố Mecxen có dạng 2^p - 1 (p là số nguyên tố ) 
- Số nguyên tố Fecma có dạng 2^(2n) + 1 (n Є N) 
Khi n = 5. Euler chỉ ra 2^(2.5) + 1 = 641.6700417 (hợp số ) 


Bài tập: 

Đặt 2p + 1 = n³ với n là số tự nhiên 

Cách giải: phân tích ra thừa số 
Dùng tính chất : Số nguyên tố có 2 ước là 1 và chính nó. 

Giải: 

♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³ 

♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 ) 
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ 

=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 ) 
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1 
<=> p = k(4k² + 6k + 3) 

=> p chia hết cho k 
=> k là ước số của số nguyên tố p. 

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p 

♫ Khi k = 1 
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận) 

♫ Khi k = p 
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1 
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1 
=> không có giá trị p nào thỏa. 

Đáp số : p = 13

thay 2p+1 là 7p+1 nha 

thay vào mak tự làm sẽ thông minh hơn@@

\(7p+1=a^3\)( a là số nguyên )

\(\Rightarrow7p=a^3-1\)

\(\Rightarrow7p=\left(a-1\right)\left(a^3+a+1\right)\)( Phân tích ra hằng đẳng thức )

\(\Rightarrow7p⋮a-1\)

Mà 7 và p đều là các số nguyên tố nên ta xét 2 trường hợp: 

Làm nốt đi xét các trường hợp rồi thay vô giải là xong nha :3

p=2 thì (7p+1) = 8=2^3 thoả mãn mà mấy chế

Lời giải:

Đặt $7p+1=a^3$ với $a$ là số tự nhiên.

$\Leftrightarrow 7p=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$

Đến đây có các TH: 

TH1: $a-1=7; a^2+a+1=p$

$\Rightarrow a=8; p=73$ (tm) 

TH2: $a-1=p, a^2+a+1=7$

$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-3$

$\Rightarrow p=1$ hoặc $p=-4$ (không thỏa mãn) 

TH3: $a-1=7p; a^2+a+1=1$ (dễ loại) 

TH4: $a-1=1; a^2+a+1=7p$ (cũng dễ loại)

Ta thấy :

\(2^3=7.1+1\left(p=1\right)\)

\(4^3=7.9+1\left(p=9\right)\)

\(8^3=7.73+1\left(p=73\right)\)

\(16^3=7.585+1\left(p=585\right)\)

\(32^3=7.4681+1\left(p=4681\right)\)

.....

\(\left(2k\right)^3=7.4681+1\left(p=2k\right)\) (k là số chẵn, k>=1)

\(\Rightarrow p\in\left\{1;9;73;585;4681...\right\}\)

Đặt \(7P+1=a^3\Rightarrow7P=\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

vì P là số nguyên tố => 7P là tích 2 số nguyên tố 

=>\(\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\) là tích 2 số nguyên tố 

nếu 1 trong 2 biểu thức a-1 hoặca^2+a+1 là hợp số => số còn lại =1 

xét a^2+a+1 là hợp số => a-1=1 => a=2, thay vào tìm P

xét a-1 là hợp số => a^2+a=1=1 => a=0 hoặc a=-1, thay vào tìm P

nếu cả 2 số là số nguyên tố , ta cx xét 2 TH

TH1: a-1=7

TH2: a^2+a+1=7 

=> ....

Tôi nghĩ vậy, nếu sai thì thôi :V 

Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó. Một định nghĩa khác tương đương: hợp số là số chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó.^[1][2]

Mọi số nguyên dương bất kỳ hoặc là 1, hoặc là số nguyên tố, hoặc là hợp số.

Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi hợp số đều phân tích được dưới dạng tích các số nguyên tố và cách biểu diễn đó là duy nhất nếu không tính đến thứ tự của các thừa số.^{[3][4][5][6][7]}.

dat 7P+1=\(a^3\)

xét 2 th:P=2  va P>2( là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất)

sd tính chất: Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố  thì có ít nhất một thừa số chia hết cho .

vì a-1<a^2+a+1. do đó có 2 th

\(\hept{\begin{cases}a-1=p\\a^2+a+1=7\end{cases}=>a^2+2a=p+7}\)(vô lí do p không thể la số chính phương,p \(\ne2a\)do p\(\ne2\)

hoặc\(\hept{\begin{cases}a-1=7\\a^2+a+1=p\end{cases}}\)

tự giải tiếp

Đặt \(2P+1=a^3\in N\)

\(\Rightarrow2P=a^3-1=\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

Với \(P=2\Leftrightarrow2P+1=2\cdot2+1=5\left(ktm\right)\)

Với \(P>2\)

Do P>2 thì P lẻ

Mà 2P chẵn, \(a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1\Rightarrow a^2+a+1\) lẻ

Do đó \(a-1=2\)

\(\Leftrightarrow a=3\\ \Leftrightarrow P=13\left(tm\right)\) 

Đặt \(13p+1=n^3\left(n\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow13p=n^3-1\)

\(\Leftrightarrow13p=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

Trường hợp 1: \(n-1=13\forall n^2+n+1=p\)

\(\Leftrightarrow n=14\)

hay \(p=14^2+14+1=196+14+1=211\)(nhận)

Trường hợp 2: \(n-1=p\forall n^2+n+1=p\)

\(\Leftrightarrow n^2+2=13-p\)

\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)^2=11-p\)

\(\Leftrightarrow p=2\)(nhận)

Vậy: \(p\in\left\{2;211\right\}\)

Do p là số nguyên tố, nên ta xét:

+ Xét p = 2

=> 7p + 1 = 7 . 2 + 1 = 14 + 1 = 15 (loại)

+ Xét p = 3

=> 7p + 1 = 7 . 3 + 1 = 21 + 1 = 22 (loại)

+ Xét p = 5

=> 7p + 1 = 7 . 5 + 1 = 35 + 1 = 36 = 6² (chọn)

+ Xét p > 5 => p có dạng 5k + 1; 5k + 2

+ Xét p = 5k + 1

=> 7p + 1 = 7 (5k + 1) + 1 = 35k + 7 + 1 = 35k + 8 (loại)

+ Xét p = 5k + 2

=> 7p + 1 = 7 (5k + 2) + 1 = 35k + 14 + 1 = 35k + 15 (loại)

                 Vậy p = 5

1.Với  a = 2 ta có 2a + 1 = 5 không thích hợp

Với a   ≠ 2  do a là số nguyên tố nên a lẽ

Vậy 2a + 1 là lập phương của một số lẽ nghĩa là

Từ đó k là ước của a. Do k là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a

-Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2.1 + 1)³ suy ra a = 13 thớch hợp

-   Nếu a = k từ a = a(4a² + 6a + 3) do a là nguyên tố nên suy ra

 1 = 4a² + 6a + 3  không có số nguyên tố a nào thoả món phương trỡnh này  Vì vế phải luụn lớn hơn 1

Vậy a = 13

2.Giả sử  

13 và p là các số nguyên tố , mà n – 1 > 1 và n² + n + 1 > 1

Nên n – 1 = 13 hoặc  n – 1 = p

-    Với n – 1 =13 thì n = 14 khi đó 13p = n³ – 1 = 2743 suy ta p = 211 là số nguyên tố

- Với n – 1 = p thi n² + n + 1 = 13 suy ra n = 3 . Khi đó p = 2 là số nguyên tố

 Vậy  p = 2, p = 211 thì 13p + 1  là lập phương của một số tự nhiên