Tham khảo:

a) Đặt \(a = BC,b = AC,c = AB.\)

Ta có: \(p = \frac{1}{2}(15 + 18 + 27) = 30\)

Áp dụng công thức heron, ta có:

\({S_{ABC}} = \sqrt {30(30 - 15)(30 - 18)(30 - 27)}  = 90\sqrt 2 \)

Và \(r = \frac{S}{p} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{30}} = 3\sqrt 2 \)

b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{3}AM\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow GK = \frac{1}{3}.AH\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \frac{1}{3}.\,{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.90\sqrt 2  = 30\sqrt 2 .\end{array}\)

Chọn B

c/ Nối MA; MD; ME ta có

^DME=^DMA+^CMA (1)

^DMA=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (B)) (2)

^CMA=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (C)) (3)

Từ (1) (2) (3) => ^DME=90 độ => D, M, E thẳng hàng

a, Ta đã chứng minh được: AE =  b + c - a 2

=> AE =  a + b + c - 2 a 2 = p – a

∆AIE có IE = EA.tan B A C ^ 2

= (p – a).tan B A C ^ 2

b, Chú ý: BI ⊥ FD và CI ⊥ E. Ta có:

B I C ^ = 180 0 - I B C ^ + I C D ^ =  180 0 - 1 2 A B C ^ + A C B ^

=  180 0 - 1 2 180 0 - B A C ^ =  90 0 + B A C ^ 2

Mà:  E D F ^ = 180 0 - B I C ^ = 90 0 - α 2

c, BH,AI,CK  cùng vuông góc với EF nên chúng song song =>  H B A ^ = I A B ^  (2 góc so le trong)

và  K C A ^ = I A C ^ mà  I A B ^ = I A C ^ nên  H B A ^ = K C A ^

Vậy: ∆BHF:∆CKE

d, Do BH//DP//CK nên  B D D C = H P P K mà DB = DF và CD = CE

=>  H P P K = B F C E = B H C K => ∆BPH:∆CPK =>  B P H ^ = C P E ^

Lại có:  B F P ^ = C E F ^ => ∆BPF:∆CEP (g.g)

mà  B P D ^ = C P D ^ => PD là phân giác của  B P C ^