a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔABC cân tại A)(1)

Xét ΔAMN có AM=AN(gt)

nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔAMN cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{AMN}\)

mà \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{AMN}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

b) Xét tứ giác MNCB có MN//BC(cmt)

nên MNCB là hình thang(đ/n hình thang)

Xét hình thang MNCB có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên MNCB là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

⇒BN=CM(do BN và CM là hai đường chéo của hình thang cân MNCB)

c) Xét ΔAMC và ΔANB có

AM=AN(gt)

\(\widehat{A}\) chung

AC=AB(do ΔABC cân tại B)

Do đó: ΔAMC=ΔANB(c-g-c)

⇒\(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\)(hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ABN}+\widehat{NBC}\)(do tia BN nằm giữa hai tia BA,BC)

\(\widehat{ACB}=\widehat{ACM}+\widehat{MCB}\)(do tia CM nằm giữa hai tia CA,CB)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

và \(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\)(cmt)

nên \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(do I∈MC,I∈BN)

Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)

nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)

d) Xét ΔBAI và ΔCAI có

AB=AC(do ΔABC cân tại A)

AI là cạnh chung

IB=IC(do ΔIBC cân tại I)

Do đó: ΔBAI=ΔCAI(c-c-c)

⇒\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC

nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

e) Ta có: AE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(do E là trung điểm của BC)

nên AE cũng là đường phân giác ứng với cạnh BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)

⇒AE là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

mà AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(cmt)

và AE và AI có điểm chung là A

nên A,I,E thẳng hàng(đpcm)

a) Xét ΔBMC và ΔCNB có :

          BM=CN ( AB=AC; AM=AN )

          góc B = góc C ( ΔABC cân tại A )

         BC : chung

suy ra : hai Δ trên bằng nhau theo trường hợp ( c-g-c )

suy ra : đpcm

b) chứng minh EBC cân nha em

Từ : ΔBMC = ΔCNB

suy ra : góc MCB = góc NBC ( 2 góc tương ứng )

suy ra : đpcm

c) ta có : ΔABC cân tại A

suy ra : góc B = góc C= \(\dfrac{180-A}{2}\) (1)

ta lại có : ΔAMN cân tại A 

suy ra : góc AMN = góc ANM = \(\dfrac{180-A}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm do (các góc ở vị trí đồng vị và bằng nhau )

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

Bài làm

a) Xét tam giác AMN có:

AM = AN 

=> Tam giác AMN cân tại A.

b) Xét tam giác ABC cân tại A có:

\(\widehat{B}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                            ^₍₁₎ 

Xét tam giác AMN cân tại A có:

\(\widehat{M}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                         ^₍₂₎ 

Từ ^₍₁₎ và ^₍₂₎ => \(\widehat{B}=\widehat{M}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

=> MN // BC

c) Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

AN = AM ( gt )

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC ( Vì tam giác ABC cân )

=> Tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( hai cạnh tương ứng )

Ta có: \(\widehat{ABN}+\widehat{MBC}=\widehat{ABC}\)

          \(\widehat{ACM}+\widehat{MCB}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( cmt )

      \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( hai góc kề đáy của tam giác cân )

=> \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> Tam giác BIC cân tại I

Vì MN // BC

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{IBC}\)( so le trong )

     \(\widehat{NMI}=\widehat{ICB}\)( so le trong )

Và \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)( cmt )

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{NMI}\)

=> Tam giác MIN cân tại I

d) Xét tam giác cân AMN có:

E là trung điểm của MN

=> AE là trung tuyến  

=> AE là đường trung trực.

=> \(\widehat{AEN}=90^0\)                    ^₍₁₎ 

Xét tam giác cân MNI có:

E là trung điểm MN

=> IE là đường trung tuyến

=> IE là trung trực.                            

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)        ^₍₂₎ 

Cộng ^₍₁₎ và ^₍₂₎ ta được:\(\widehat{IEN}+\widehat{AEN}=90^0+90^0=180^0\) => A,E,I thẳng hàng.                      ^₍₃₎ 

Xét tam giác cân BIC có:

F là trung điểm BC

=> IF là trung tuyến

=> IF là trung trực.

=> \(\widehat{IFC}=90^0\)                

Và MN // BC

Mà \(\widehat{IFC}=90^0\)

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)

=> E,I,F thẳng hàng.             ^₍₄₎ 

Từ ^₍₃₎ và ^₍₄₎ => A,E,I,F thẳng hàng. ( đpcm )

# Học tốt #

\Delta CÓ NGHĨA LÀ TAM GIÁC NHÉ

Mình khỏi vẽ hình nha

a. Chứng minh tam AMN cân tại A.

Ta có: 

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

BM=NC (gt)

Trừ theo vế, ta được: AB-BM=AC-NC hay AM=AN

Suy ra: tam giác AMN cân tại A

b. Chứng minh MN//BC

Ta có:

Tam giác AMN cân tại A (cmt), nên: \(\widehat{AMN=\frac{180-\widehat{A}}{2}}\)

Tam giác ABC cân tại A (cmt), nên: \(\widehat{ABC=\frac{180-\widehat{A}}{2}}\)

Suy ra: \(\widehat{AMN=\widehat{ABC}}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Vậy MN//BC

c. Chứng minh AI là phân giác của    góc A

Xét tam giác AIB và tam giác AIC, có:

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(tam giác ABC cân tại A)

IB =IC ( gt)

Do đó: tam giác AIB=tam giác AIC (cgc)

Nên: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)

Vậy AI là phân giác của góc A

d. Chứng minh OM=ON

Xét tam giác AOM và tam giác AON, có:

AM=AN (cmt)

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(cmt)

AO chung

Do đó: tam giác AOM = tam giác AON (cgc)

Nên: OM=ON

d. Chứng minh A,O,I thẳng hàng

Vì AI là phân giác của góc A (cmt) 

Tương tự AO là phân giác của góc A

Vậy ba điểm A,O,I thẳng hàng