a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔABC cân tại A)(1)
Xét ΔAMN có AM=AN(gt)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔAMN cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{AMN}\)
mà \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{AMN}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên MN//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
b) Xét tứ giác MNCB có MN//BC(cmt)
nên MNCB là hình thang(đ/n hình thang)
Xét hình thang MNCB có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên MNCB là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
⇒BN=CM(do BN và CM là hai đường chéo của hình thang cân MNCB)
c) Xét ΔAMC và ΔANB có
AM=AN(gt)
\(\widehat{A}\) chung
AC=AB(do ΔABC cân tại B)
Do đó: ΔAMC=ΔANB(c-g-c)
⇒\(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ABN}+\widehat{NBC}\)(do tia BN nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACB}=\widehat{ACM}+\widehat{MCB}\)(do tia CM nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\)(cmt)
nên \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)
hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(do I∈MC,I∈BN)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
d) Xét ΔBAI và ΔCAI có
AB=AC(do ΔABC cân tại A)
AI là cạnh chung
IB=IC(do ΔIBC cân tại I)
Do đó: ΔBAI=ΔCAI(c-c-c)
⇒\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
e) Ta có: AE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(do E là trung điểm của BC)
nên AE cũng là đường phân giác ứng với cạnh BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)
⇒AE là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
mà AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(cmt)
và AE và AI có điểm chung là A
nên A,I,E thẳng hàng(đpcm)
