cho tam giác ABC cân tại A.Lấy M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh AC sao cho AM=AN
a) chứng minh tam giác AMN cân
b)chứng minh MN song song BC
c)Gọi I là giao điểm của CM và BN.Chứng minh tam giac BIC và MIN là tam giac cân
d)
gọi E là trung điiểm của MN
goi F là trung điểm của BC.Chứng minh A,E,F,I thẳng hàng
a)Ta có:
AM=AN⇒△AMN cân tại A
b)△ABC cân tại A
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(1\right)\)
△AMN cân tại A
⇒\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\frac{180^0-\widehat{NAM}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\)\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) hay \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN//BC
c)Xét △BAN và △CAM có:
BA=CA (gt)
Góc A chung
AN=AM (cmt)
⇒△BAN = △CAM (cgc)
⇒\(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\) mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABN}=\widehat{ACB}-\widehat{ACM}\Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
⇒△BIC cân tại I (đpcm)
Ta lại có:\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)mà \(\widehat{IBC}=\widehat{INM};\widehat{ICB}=\widehat{IMN}\)(so le trong)
⇒\(\widehat{INM}=\widehat{IMN}\)⇒△IMN cân tại I (đpcm)
d)
Xét △AME và △ANE có:
AM=AN (câu a)
AE chung
ME=NE (gt)
⇒△AME= △ANE (ccc)
⇒\(\widehat{MAE}=\widehat{NAE}\) ⇒AE là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
hay AE là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (1)
Chứng minh tương tự, ta được:
△AMI= △ANI (ccc)
⇒\(\widehat{MAI}=\widehat{NAI}\) ⇒AI là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
hay AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (2)
Chứng minh tương tự, ta cũng được:
△ABF= △ACF (ccc)
⇒\(\widehat{BAF}=\widehat{CAF}\)
⇒ AF là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (3)
Từ (1), (2) và (3)⇒A, E, I, F thẳng hàng (đpcm)
Hình xem của bạn trên ạ :<
a) Xét ΔAMN có:
AM = AN (gt)
\(\Rightarrow\)ΔAMN cân
b) Vì ΔAMN cân tại A
\(\Rightarrow\)AMN = (180o - A) : 2
Vì ΔABC cân tại A
\(\Rightarrow\)ABC = (180o - A) : 2
Do đó AMN = ABC
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\)MN // BC
c) Ta có:
AB = AM + MB
AC = AN + NC
Mà AB = AC (ΔABC cân) và AM = AN (gt)
\(\Rightarrow\)MB = NC
Xét ΔMCB và ΔNBC có:
MB = NC (cmt)
MBC = NCB (ΔABC cân)
BC: chung
\(\Rightarrow\)ΔMCB = ΔNBC (c.g.c)
\(\Rightarrow\)MCB =NBC (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\)ΔBIC cân
Ta có:
BN = BI + IN
CM = CI +IM
Mà BN = CM (ΔMCB = ΔNBC) và IB = IC (ΔBIC cân)
\(\Rightarrow\)IM = IN
\(\Rightarrow\)ΔMIN cân
d) Xét ΔAEM và ΔAEN có:
AM = AN (gt)
AE: chung
EM = EN (E: trđ MN)
\(\Rightarrow\)ΔAEM = ΔAEN (c.c.c)
\(\Rightarrow\)EAM = EAN (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\)AE là phân giác MAN (1)
Xét ΔAIM và ΔAIN có:
AM = AN (gt)
AI: chung
IM = IN (ΔMIN cân)
\(\Rightarrow\)ΔAIM = ΔAIN (c.c.c)
\(\Rightarrow\)IAM = IAN (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\)AI là phân giác MAN (2)
Xét ΔAFB và ΔAFC có:
AB = AC (ΔABC cân)
AF: chung
FB = FC (F: trđ BC)
\(\Rightarrow\)ΔAFB = ΔAFC (c.c.c)
\(\Rightarrow\)FAB = FAC (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\)AF là phân giác BAC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A, E, I, F thẳng hàng
