3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{25}{2}\) 

tại a=b=¹/₂

thêm ít cách

Cách 1:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được: 

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)

\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 2: 

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)

\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)

\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)

\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)

\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1) 

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)

Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được: 

\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 3:Làm tắt thui ạ

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)

giống cách 2 rồi làm nốt

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY DẠNG PHÂN THỨC TA CÓ : 

\(\left(A+\frac{1}{B}\right)^2+\left(B+\frac{1}{A}\right)^2\ge\frac{\left(A+\frac{1}{B}+B+\frac{1}{A}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)^2}{2}\)(1)

LẠI CÓ \(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\ge\frac{4}{A+B}=\frac{4}{1}=4\)(2)

TỪ (1) VÀ (2) => \(\left(A+\frac{1}{B}\right)^2+\left(B+\frac{1}{A}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

=> \(\left(A+\frac{1}{B}\right)^2+\left(B+\frac{1}{A}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)(ĐPCM)

ĐẲNG THỨC XẢY RA <=> A = B = 1/2

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\)

Vì a > 0 và b > 0  \(\Rightarrow ab>0\)

Vậy \(\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow b^2+a^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

bài này có nhiều hướng đi lắm =))

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)

=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\frac{4}{a+b}\cdot\left(a+b\right)=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b

2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\); \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\cdot2\sqrt{ab}=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b

3. \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2+2=4\)(AM-GM)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Bạn học bđt Cô-si chx?

\(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).\left(a-b\right)\ge4\)

t có cách k dùng bdt cô-si luon nek , mà chắc lớp 8 k hẻo đeo:>

Đề bài sai, ví dụ \(a=b=2\) thì \(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\left(a-b\right)=0\) đâu có lớn hơn bằng 4 được?

A = ( a+1)(b+1)

= ab + a + b + 1

= 1 + 1 + 1 + 1

= 4  

vì ab = 1 nên a\(\ge\)1

b\(\ge\)1

dấu bằng xảy ra khi a=b=1

ta có 

A = ( a+1)(b+1)

= ab + a + b + 1

= 1 + 1 + 1 + 1

= 4 

giải thích 

vì ab = 1 nên a>=1

b>=1

dấu bằng xảy ra khi a=b=1