Cho đa thức \(f\left(x\right)=\left(x+2\right)^{2017}\), biết rằng sau khi khai triển và thu gọn ta được:
\(f\left(x\right)=a_{2017}x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)
Tính tổng \(S=a_0+a_2+...+a_{2014}+a_{2016}\)
Những câu hỏi liên quan
Xét đa thức
\(P\left(x\right)=\left(1-x+x^2-x^3+...-x^{2015}+x^{2016}\right)\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{2015}+x^{2016}\right)\)
Khai triển và ước lượng các hạng tử đồng dạng có thể viết
\(P\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{4032}x^{4032}\)Tính \(a_{2017}\)
3 tháng 1 2021 lúc 16:00
Viết đa thức \(f\left(x\right)=\left(x^2+2x-2\right)^8\) dưới dạng \(f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{16}x^{16}\). Tính tổng \(S=a_1+a_3+...+a_{15}\)
\(S_0=a_0+a_1+...+a_{16}=f\left(1\right)=1\)
Số hạng tổng quát trong khai triển:
\(\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(x^2+2x\right)^k\left(-2\right)^{8-k}=\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(-2\right)^{8-k}\sum\limits^k_{i=0}C_k^ix^{2i}\left(2x\right)^{k-i}\)
\(=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-2\right)^{8-k}2^{k-i}x^{i+k}\)
Số hạng không chứa x thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le8\\i+k=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow i=k=0\Rightarrow a_0=C_8^0C_0^0\left(-2\right)^82^0=2^8\)
Số hạng chứa \(x^{16}\) thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le8\\i+k=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow i=k=8\Rightarrow a_{16}=C_8^8C_8^8\left(-2\right)^0.2^0=1\)
\(\Rightarrow S=S_0-\left(a_0+a_{16}\right)=-2^8\)
Đúng 1
Bình luận (0)
2 tháng 3 2023 lúc 20:46
Cho đa thức f(x)left(x+2right)^{2021}.Biết rằng sau khi khai triển và thu gọn ta được:
f(x)a_{2021}x^{2021}+a_{2020}x^{2020}+...+a_3x^3+a_2x^2a_1x+a_0
Đọc tiếp
Cho đa thức f(x)=\(\left(x+2\right)^{2021}\).Biết rằng sau khi khai triển và thu gọn ta được:
f(x)=\(a_{2021}\)\(x^{2021}\)+\(a_{2020}\)\(x^{2020}\)+...+\(a_3\)\(x^3\)+\(a_2\)\(x^2\)\(a_1\)\(x\)+\(a_0\)
Cho khai triển: \(\left(1+x+x^2+...+x^{2015}\right)^{2016}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{4062240}x^{4062240}\). Tính giá trị biểu thức: \(T=C^0_{2016}a_{2016}-C^1_{2016}a^{2015}+C^2_{2016}a_{2014}-...+C^{2016}_{2016a_{ }0}\)
Mình nhầm \(C^1_{2016}a_{2015}\)thành \(C^1_{2016}a^{2015}\)
cho khai triển \(\left(2018x^2+x+2018\right)^{2018}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{4036}x^{4036}\)
tính \(T=a_0-a_2+a_4-...-a_{4032}+a_{4036}\)
cho khai triển \(\left(\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\right)^{2020}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2020}x^{2020}+\dfrac{b_1}{x+1}+\dfrac{b_2}{\left(x+1\right)^2}+...+\dfrac{b_{2020}}{\left(x+1\right)^{2020}}\) tính tổng \(S=b_1+b_2+...+b_{2020}\)
cho fleft(xright)left(x^2+5x-8right)^{1000}.x^9
Giả sử sau khi triển khai f(x) có dạng:
fleft(xright)a_{2009}X^{2009}+a_{2008}X^{2008}+...+a_2X^2+a_1X+a
Hãy tính :
a) S_1a_1+a_3+...+a_{2007}+a_{2009}
b) S_2a_0+a_2+...+a_{2006}+a_{2008}
c) S_3a_0+a_1+a_2+...+a_{2008}+a_{2009}
c
Đọc tiếp
cho \(f\left(x\right)=\left(x^2+5x-8\right)^{1000}.x^9\)
Giả sử sau khi triển khai f(x) có dạng:
\(f\left(x\right)=a_{2009}X^{2009}+a_{2008}X^{2008}+...+a_2X^2+a_1X+a\)
Hãy tính :
a) \(S_1=a_1+a_3+...+a_{2007}+a_{2009}\)
b) \(S_2=a_0+a_2+...+a_{2006}+a_{2008}\)
c) \(S_3=a_0+a_1+a_2+...+a_{2008}+a_{2009}\)
c
Cho đa thức \(f\left(x\right)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)
Biết rằng: \(f\left(1\right)=f\left(-1\right);f\left(2\right)=f\left(-2\right)\)
Chứng minh: \(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\forall x\)
Lời giải:
\(f(1)=f(-1)\)
\(\Leftrightarrow a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=a_4-a_3+a_2-a_1+a_0\)
\(\Leftrightarrow 2(a_3+a_1)=0\Leftrightarrow a_3+a_1=0(1)\)
\(f(2)=f(-2)\)
\(\Leftrightarrow 16a_4+8a_3+4a_2+2a_1+a_0=16a_4-8a_3+4a_2-2a_1+a_0\)
\(\Leftrightarrow 16a_3+4a_1=0\Leftrightarrow 4a_3+a_1=0(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a_3=a_1=0\)
Do đó:
\(f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0\)
\(\Rightarrow f(-x)=a_4(-x)^4+a_2(-x)^2+a_0=a_4x^4+a_2x^2+a_0\)
Vậy $f(x)=f(-x)$.
Đúng 0
Bình luận (0)
Khai triển: \(\left(1+x+x^2+...+x^{10}\right)^{11}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{110}x^{110}\). Tính: \(S=C^0_{11}a_0-C_{11}^1a_1+C_{11}^2a_2-C_{11}^3a_3+...+C^{10}_{11}a_{10}-C^{11}_{11}a_{11}\)
Để tính giá trị của biểu thức S, chúng ta có thể sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Công thức này cho phép chúng ta tính toán các hệ số a0, a1, a2,..., a11 trong biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11.
Công thức khai triển nhị thức Newton: (a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n
Trong đó, C(n,k) là tổ hợp chập k của n (n choose k), được tính bằng công thức C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!).
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton vào biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11, ta có:
S = C(11,0)*a0 - C(11,1)*a1 + C(11,2)*a2 - C(11,3)*a3 + ... + C(11,10)*a10 - C(11,11)*a11
Bây giờ, để tính giá trị của S, chúng ta cần tính các hệ số a0, a1, a2,..., a11. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức C(n,k) để tính các hệ số từng phần tử trong biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11.
Tuy nhiên, để viết bài giải ngắn nhất có thể, ta có thể sử dụng một số tính chất của tổ hợp chập để rút gọn công thức. Chẳng hạn, ta có các quy tắc sau:
C(n,k) = C(n,n-k) (đối xứng)C(n,0) = C(n,n) = 1C(n,1) = C(n,n-1) = nÁp dụng các quy tắc trên vào công thức của S, ta có:
S = a0 - 11a1 + 55a2 - 165a3 + ... + 330a10 - a11
Với công thức trên, ta chỉ cần tính 11 hệ số a0, a1, a2,..., a10, a11 và thực hiện các phép tính nhân và cộng trừ để tính giá trị của S.
Đúng 0
Bình luận (0)