a, OH.OA =  O B 2 = R 2  không đổi\

b, Chứng minh ∆ABO = ∆ACO

c, Vẽ ON ⊥ BM => B O N ^ = M O N ^

có  B O N ^ = M B x ^ ; M O N ^ = H B M ^

=>  M B x ^ = H B M ^

=> MB là phân giác của  C B x ^  nên M cách đều hai cạnh BA và BC mà AM là phân giác  B A C ^ => đpcm

d, Ta có ∆ODA:∆OHI => OI.OD = OH.OA =  R 2

Ta có: 3OI+OD ≥ 2 3 O I . O D = 2R 3

=> (3OI+OD)min = 2R 3 <=> OI =  R 3 3

a: Xét tứ giác OBMA có \(\widehat{OBM}+\widehat{OAM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBMA là tứ giác nội tiếp

=>O,B,M,A cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBM và ΔOCM có

OB=OC

\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOBM=ΔOCM

=>\(\widehat{OBM}=\widehat{OCM}\)

mà \(\widehat{OBM}=90^0\)

nên \(\widehat{OCM}=90^0\)

=>MC là tiếp tuyến của (O)

 a) Gọi D là trung điểm của MO

∆OAM vuông tại A có AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM

⇒ AD = OD = MD = OM : 2   (1)

∆OBM vuông tại B có BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM

⇒ BD = OD = MD = OM : 2   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD = BD = OD = MD

Vậy A, B, O, M cùng thuộc (D, AD)

b) Xét hai tam giác vuông: ∆OHB và ∆OHC có:

OH là cạnh chung

OB = OC = bán kính

⇒ ∆OHB = ∆OHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ ∠HOB = ∠HOC (hai góc tương ứng)

⇒ ∠MOB = ∠MOC

Xét ∆MOB và ∆MOC có:

OM là cạnh chung

∠MOB = ∠MOC (cmt)

OB = OC = bán kính)

⇒ ∆MOB = ∆MOC (c-g-c)

⇒ ∠OBM = ∠OCM (hai góc tương ứng)

⇒ ∠OCM = 90⁰

⇒ MC ⊥ OC

Mà OC là bán kính của (O)

⇒ MC là tiếp tuyến của (O)

a) Nối O với N. Ta có \(\widehat{OAN}\)=\(\widehat{OBN}\)=\(\widehat{ONM}\)=90° →các góc này nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ON →O,A,B,N,M cùng nằm trên đường tròn đường kính ON.

b) Nối A với M. Xét tứ giác nội tiếp OANB(chứng minhnội tiếp trước)ta có \(\widehat{AMO}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\widebat{OA}\);\(\widehat{OAB}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\widebat{OB}\) mà 

a: Xét tứ giác OHDC có

góc OHD+góc OCD=180 độ

=>OHDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔOIA vuông tạiI và ΔOHD vuông tại H có

góc IOA chung

=>ΔOIA đồng dạng với ΔOHD

=>OI/OH=OA/OD

=>OI*OD=OH*OA

a: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC nên OH là phân giác của góc BOC

OH*OA=OB^2=R^2

b: Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

góc BOA=góc COA

OA chung

Do đo: ΔOBA=ΔOCA

=>góc OCA=90 độ

=>AC là tiếp tuyến của (O)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB R2 . Gọi M là điểm di động trên đường tròn O . Điểm M khác AB, ; dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M vừa dựng. 

a) Chứng minh BM AM , lần lượt là các tia phân giác của các góc ABD và BAC .

b) Chứng minh ba điểm C M D , , nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm M .

c) Chứng minh AC BD không đổi, từ đó tính tích AC BD. theo CD .

d) Giả sử ngoài AB, trên nửa đường tròn đường kính AB không chứa M có một điểm N cố định. gọi I là trung điểm của MN , kẻ IP vuông góc với MB . Khi M chuyển động thì P chuyển động trên đường cố định nào.

Cần giải câu d