a^4-1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)

Nếu a chia 5 du 1 suy ra n-1 chia het cho 5

Nêu a chia 5 du 2 suy ra n^2 chia 5 du 4 suy ra n^2+1 chia het cho 5  (dùng đồng dư)

tương tự với a chia 5 du 3,4

vay a^4-1 luôn chia het cho 5 

CM chia hết 7 là xong 

Nêu a chia 7 du 1 ,5,6 thay nhu tren vao a^4-1 la xong 

Voi a chia 7 du 2,3,4

Neu a chia 7 du 2 thi a^4 chia 7 du 16 ; a^2 chia 7 du 4<=>15a^2 chia 7 du 60

suy ra a^4+15a^2+1 chia 7 du 16+60+1=77 chia het cho 7

Neu a chia 7 du 3, 4 tươ]ng tu

Ta có: a không chia hết cho 5

=> a chia 5 dư 1;2;3 hoặc 4

=>a⁴ chia 5 dư 1                    (tính chất)

=>a⁴-1 chia hết cho 5

Phần sau làm tương tự

tra gút gồ đe=))

Đề HSG Nghệ An ak bạn 

P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\)) 

Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)

tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)

b. 

Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5

Do đó:

- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)

- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố

\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)

Thay vào thỏa mãn

- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm

Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất