Đề HSG Nghệ An ak bạn
P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)
mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\))
Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)
tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)
b.
Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5
Do đó:
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố
\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)
Thay vào thỏa mãn
- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm
Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất
c.
\(a\left(ab+1\right)⋮a^2+b\Rightarrow a\left(ab+1\right)-b^2+b^2⋮a^2+b\)
\(\Rightarrow b\left(a^2+b\right)-\left(b^2-a\right)⋮a^2+b\)
\(\Rightarrow b^2-a⋮a^2+b\) (1)
Lại có: \(b\left(ab+1\right)+a^2-a^2⋮b^2-a\)
\(\Rightarrow a\left(b^2-a\right)+a^2+b⋮b^2-a\)
\(\Rightarrow a^2+b⋮b^2-a\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^2+b=b^2-a\)
\(\Rightarrow\left(a-b+1\right)\left(a+b\right)=0\Rightarrow b=a+1\)
Vậy với mọi bộ số nguyên dương có dạng: \(\left(a;b\right)=\left(n;n+1\right)\) đều thỏa mãn yêu cầu bài toán
