Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
ILoveMath

a,Giải phương trình nghiệm nguyên: \(\left(x+1\right)^4-\left(x-1\right)^4=8y^2\)

b, Cho a,b,c là các số nguyên sao cho \(a^2-bc,b^2+2ac,c^2-4ab\) là các đồng thời chia hết cho 3. CMR a+b+c chia hết cho 3

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 12 2021 lúc 21:26

a.

\(\Leftrightarrow8x^3+8x=8y^2\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=y^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(x;x^2+1\right)\)

\(\Rightarrow x^2+1-x.x⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow x\) và \(x^2+1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m^2\\x^2+1=n^2\end{matrix}\right.\)

\(x^2+1=n^2\Rightarrow\left(n-x\right)\left(n+x\right)=1\)

\(\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow y=0\)

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 12 2021 lúc 21:26

TH1: a;b;c đồng dư khi chia 3 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)

TH2: 3 số a;b;c có số dư đôi một khác nhau khi chia cho 3 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)

TH3: 3 số a;b;c có 2 số đồng dư khi chia 3, một số khác số dư. Không mất tính tổng quát, giả sử \(a,b\) đồng dư khi chia 3 còn c khác số dư

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2⋮3\) còn \(\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\) chia 3 luôn dư 1 hoặc 2

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2⋮̸3\)  (1)

Mặt khác từ giả thiết:

\(\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac+3ac⋮3\\c^2-ab-3ab⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac⋮3\\c^2-ab⋮3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(a^2-bc\right)+2\left(b^2-ac\right)+2\left(c^2-ab\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2⋮3\) trái với (1) ktm

Vậy \(a+b+c⋮3\)


Các câu hỏi tương tự
ILoveMath
Xem chi tiết
Vô danh
Xem chi tiết
Phạm Hà Chi
Xem chi tiết
Dưa Hấu
Xem chi tiết
Trần Nga
Xem chi tiết
Hacker Ngui
Xem chi tiết
nguyentancuong
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Duy
Xem chi tiết
nguyễn khắc biên
Xem chi tiết