Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
fghj

Chứng minh nếu a là 1 số nguyên không chia hết cho 5 và không chia hết cho 7 thì \(\left(a^4-1\right)\left(a^4+15a^2+1\right)\)chia hết cho 35

Akai Haruma
12 tháng 1 2020 lúc 0:04

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $A$

$\bullet$ Chứng minh $A\vdots 5$

Ta nhớ đến tính chất quen thuộc là: Một số chính phương khi chia cho $5$ có dư là $0,1,4$

Do đó, với $a$ là số nguyên không chia hết cho $5$ thì $a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$

Hay $a^2\equiv \pm 1\pmod 5$

$\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A=(a^4-1)(a^4+15a^2+1)\equiv 0\pmod 5$

Hay $A\vdots 5(*)$

----------------------

Chứng minh $A\vdots 7$

$A=(a^4-1)(a^4+a^2+1)+14a^2(a^4-1)$

$=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)$

Ta nhớ đến tính chất quen thuộc: Một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$

Do đó, với $a$ là số không chia hết $7$ thì $a^3$ chia $7$ có thể dư $1,6$

Hay $a^3\equiv \pm 1\pmod 7$

$\Rightarrow a^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^6-1\equiv 0\pmod 7$

$\Rightarrow A=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)\equiv 0\pmod 7$

Hay $A\vdots 7(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 35$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Lê Ánh Huyền
Xem chi tiết
Văn Hoang Tran
Xem chi tiết
Văn Hoang Tran
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Hàn Thiên Băng
Xem chi tiết
Esther Michael
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết