Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hàn Thiên Băng

Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:

\(\left[\left(27n+5\right)^7+10\right]^7+\left[\left(10n+27\right)^7+5\right]^7+\left[\left(5n+10\right)^7+27\right]^7\) chia hết cho 42

Akai Haruma
28 tháng 5 2019 lúc 1:14

Lời giải:

Đặt cả biểu thức to là $P$

Với mọi số tự nhiên $n$, áp dụng định lý Fermat nhỏ:

\(n^7\equiv n\pmod 7\) \(\Leftrightarrow n^7-n\vdots 7(1)\)

\(n^7-n=n(n^6-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)\) có $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 6$

\(\Rightarrow n^7-n\vdots 6(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow n^7-n\vdots 42\) hay \(n^7\equiv n\pmod {42}\) (do 6 và 7 nguyên tố cùng nhau)

Áp dụng tính chất trên vào bài toán:

\([(27n+5)^7+10]^7\equiv (27n+5)^7+10\equiv 27n+5+10\pmod {42}(*)\)

\([(10n+27)^7+5]^7\equiv (10n+27)^7+5\equiv 10n+27+5\pmod {42}(**)\)

\([(5n+10)^7+27]^7\equiv (5n+10)^7+27\equiv 5n+10+27\pmod {42}(***)\)

Cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\equiv 27n+5+10+10n+27+5+5n+10+27\)

\(\equiv 42n+84\equiv 0\pmod {42}\)

Hay $P\vdots 42$

Ta có đpcm.

 Mashiro Shiina
27 tháng 5 2019 lúc 22:33

Bạn thi chuyên KHTN à?

Dong tran le
1 tháng 6 2019 lúc 11:51

đề chuyên khtn này


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Đừng gọi tôi là Jung Hae...
Xem chi tiết
Phạm Hồng Ngọc
Xem chi tiết
☠☠stotoresk34☠☠
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết