\(x.P\left(x-1\right)=\left(x-2\right).P\left(x\right)\) (1)

Thay \(x=0\) vào (1) \(\Rightarrow0.P\left(-1\right)=-2.P\left(0\right)\Rightarrow P\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow x=0\) là 1 nghiệm của đa thức

Thay \(x=2\) vào (1):

\(2.P\left(1\right)=0.P\left(2\right)\Rightarrow P\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=1\) là 1 nghiệm của đa thức

\(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=0;x-1\)

Mà bậc P(x) nhỏ hơn 4 nên P(x) tối đa có bậc 3

\(\Rightarrow P\left(x\right)=k.x.\left(x-1\right).\left(ax+b\right)\) với \(k\ne0\)

Thay vào (1)

\(\Rightarrow x.k\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b\right)=kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax+b\right)\)

\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b-ax-b\right)=0\)

\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right).\left(-a\right)=0\)

\(\Rightarrow a=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right)\) với a là số thực khác 0 bất kì

P(x)=ax^3+bx+c

Hệ số cao nhất là 4 nên a=4

=>P(x)=4x^3+bx+c

Hệ số tự do là 0 nên P(x)=4x^3+bx

P(1/2)=0

=>4*1/8+b*1/2=0

=>b=-1

=>P(x)=4x^3-x

Ta thấy vế phải là phương trình bậc 2 nên:

\(\Rightarrow f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow f\left(1-x\right)=a\left(1-x\right)^2+b\left(1-x\right)+c=ax^2-x\left(2a+b\right)+a-b+c\)

\(\Rightarrow3f\left(x\right)-f\left(1-x\right)=x^2\left(3a-a\right)+x\left\{3b-\left[-\left(2a+b\right)\right]\right\}+3c-\left(a-b+c\right)\)

\(=x^2+1\)

\(\Rightarrow2a.x^2+2x\left(a+2b\right)-a+b-2x=x^2+1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=1\\a+2b=0\\-a+b-2c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{4}\\c=-\frac{7}{8}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{7}{8}\)

Vậy .......................................................................

Thay \(x=0\) vào ta có :

 \(0.P\left(1+1\right)=\left(1^2-4\right).P\left(0\right)\Leftrightarrow0=-3.P\left(0\right)\Leftrightarrow P\left(0\right)=0\)

Thay \(x=\pm2\) vào ta có : ... ( Chứng minh tương tự )

=> Vậy P ( x ) có ít nhất 3 nghiệm là x = 0; x = 2 và x = -2

+ Với \(x=0\Rightarrow0.P\left(0+1\right)=\left(0-4\right).P\left(0\right)\)

\(\Leftrightarrow-4.P\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(0\right)=0\)

Vậy \(x=0\)là nghiệm của đa thức .

+ Với \(x=2\Rightarrow2.P\left(2+1\right)=\left(4-4\right).P\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow2P\left(3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow P\left(3\right)=0\)

Vậy \(x=3\)là nghiệm của đa thức .

+ Với \(x=-2\Rightarrow\left(-2\right).P\left(-2+1\right)=\left(4-4\right).P\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right).P\left(-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow P\left(-1\right)=0\)

Vậy \(x=-1\)là nghiệm của đa thức .

\(\Rightarrow\)\(P\left(x\right)\) có ít  nhất 3 nghiệm .

Vũ Cao Minh : Bạn làm sai rồi ..

Linn : Cảm ơn vì đã trả lời nhé , Lin làm đúng rồi .( nếu không là mik lại phải ngồi nát óc nghĩ )