Lời giải:

Gọi ƯCLN của $A,B$ là $d$

Ta có:

$m+n\vdots d$

$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn\vdots d$

$\Rightarrow 2mn\vdots d$

Nếu $d=1,2$ thì hoàn toàn có khả năng xảy ra.

Nếu $d>2$. Gọi $q$ là ước nguyên tố của $d$

$\Rightarrow mn\vdots q$

$\Rightarrow m\vdots q$ hoặc $n\vdots q$

Nếu $m\vdots q$ thì do $m+n\vdots q$ nên $n\vdots q$. Vô lý vì $(m,n)=1$

Tương tự nếu $n\vdots q$

Do đó $(A,B)$ có thể bằng $1$ hoặc $2$

1.

a² = (m² + n²)²  = m⁴ + 2m².n² + n⁴

b² = (m² - n²)²   = m⁴ - 2m².n² + n⁴ 

c² = (2mn)² = 4m².n² 

Nhận xét:  a² - b² = c² => a² = b² + c²

Theo ĐL pi - ta - go đảo => a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông

mình làm tới bước này rồi nhờ mọi người giải tiếp với với cách xét m,n cùng lẻ và m,n khác tính chẵn lẽ nhé 1

Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :

\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)

Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .