\(C=x^2y^2+2xy\cdot12+144+2x^2+16x+32+15\)

\(C=\left(xy+12\right)^2+2\left(x+4\right)^2+15\ge15\forall x;y\)

GTNN của C = 15 khi x = -4; y = -3

Ta có : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

=> A = [x(x + 3)].[(x + 1)(x + 2)]

=> A = (x² + 3x) . (x² + 3x + 2)

Đặt a = x² + 3x + 1 

Khi đó A = (a - 1)(a + 1)

=> A = a² - 1

=> A = x² + 3x + 1 - 1

=> A = x² + 3x

=> A = x² + 3x + \(\frac{4}{9}-\frac{4}{9}\) 

\(\Rightarrow A=\left(x+\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\)

Mà \(\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\ge0\forall x\)

Nên : \(A=\left(x+\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\ge-\frac{4}{9}\forall x\)

Vậy A_min = \(\frac{-4}{9}\) , dầu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = \(-\frac{2}{3}\)

Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$

$4A=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8064$

$=(4a^2+4ab+b^2)+3b^2-12a-12b+8064$

$=(2a+b)^2-6(2a+b)+(3b^2-6b)+8064$

$=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+3(b^2-2b+1)+8052$

$=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2+8052\geq 8052$

$\Rightarrow A\geq 2013$

Vậy $A_{\min}=2013$

\(A=\left(a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{9}{4}+ab-3a-\dfrac{3}{2}b\right)+\dfrac{3}{4}\left(b^2-2b+1\right)+2020\)

\(A=\left(a+\dfrac{b}{2}-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(b-1\right)^2+2020\ge2020\)

\(A_{min}=2020\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\)

\(F=a^2+ab+b^2-3a-3b+3\)

\(=\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(ab-a-b+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)

\(=\left[\left(a-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{1}{4}\left(b-1\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\)

\(=\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\)

Ta thấy \(\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2\ge0\) và \(\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\ge0\) với mọi a;b

Nên \(A=\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\ge0\forall a;b\) có GTNN là 0

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

\(4F=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+12\)

\(=\left(4a^2+b^2+4+4ab-12a-6b\right)+\left(3b^2-6b+3\right)\)

\(=\left(2a+b-2\right)^2+3\left(b-1\right)^2\)

vì \(\left(2a+b-2\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(3\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)

\(\Rightarrow4F\ge0\forall a,b\Rightarrow F\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow GTNN\)của F là 0 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

F=a2+ab+b2−3a−3b+3

=(�2−2�+1)+(�2−2�+1)+(��−�−�+1)=(a2−2a+1)+(b2−2b+1)+(ab−a−b+1)

=(�−1)2+(�−1)2+(�−1)(�−1)=(a−1)2+(b−1)2+(a−1)(b−1)

=[(�−1)2+(�−1)(�−1)+14(�−1)2]+34(�−1)2=[(a−1)2+(a−1)(b−1)+41​(b−1)2]+43​(b−1)2

=[(�−1)+12(�−1)]2+34(�−1)2=[(a−1)+21​(b−1)]2+43​(b−1)2

Ta thấy [(�−1)+12(�−1)]2≥0[(a−1)+21​(b−1)]2≥0 và 34(�−1)2≥043​(b−1)2≥0 với mọi a;b

Nên �=[(�−1)+12(�−1)]2+34(�−1)2≥0∀�;�A=[(a−1)+21​(b−1)]2+43​(b−1)2≥0∀a;b có GTNN là 0

Dấu "=" xảy ra $\iff a=b=1\; =)$

\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)

\(\Rightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)

\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4\left(a+b\right)+4+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)

\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge3996\)

\(\Rightarrow M\ge1998\)

Với các bài toán tìm max, min 2 biến kiểu như thế này, em hay cố gắng nhân M lên n lần để tạo thêm được các số hạng, sang đó ghép tạo thành các bình phương.

Cách làm như sau:

\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8004\)

\(=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-6\left(2a+b\right)+3\left(b^2-2b\right)+8004\)

\(=\left(2a+b\right)^2-6\left(2a+b\right)+9+3\left(b^2-2b+1\right)+7992\)

\(=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7992\ge7992\)

Vậy 4M min = 7992, vây M min = 1998.

Vậy min M = 1998 khi \(\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

Cho biểu thức M = a² + ab + b² – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.