Cho \(a,b,c\in Z\) để \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=a+b+c\)
CMR: \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3⋮81\)
Bài 1: Cho a,b,c∈Z,\(a^2+b^2+c^2⋮9\). CMR: abc⋮3
Bài 2: Cho a,b,c,d bất kì nguyên. CMR:\(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)⋮12\)
Bài 3: Tìm \(n\in N\)*:\(n.2^n+3^n⋮5\)
1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó
2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)
Ta có 2 TH sau:
- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12
- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)
3. Với \(n=1\) thỏa mãn
Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)
Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)
TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)
\(\Rightarrow n=10m+4\)
TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5
Cho \(a,b,c\) là các số dương . \(CMR\) \(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{c+a}{8}\ge\dfrac{3b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c+a}{8}+\dfrac{a+b}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
1, Cho a, b, c thỏa mãn :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\\\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\end{matrix}\right.\\ CMR:abc=0\)
2, a, CMR nếu x + y + z = 0 thì :
\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
b, Cho a, b,c, d thỏa mãn : a + b + c + d = 0
CMR : \(a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\)
Mọi người giải giúp mk, đc bài nào hay bài ấy nhé!
2 ) b )
\(a+b+c+d=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a=-c^3-3c^2d-3d^2c-d^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a+c^3+3c^2d+3d^2c+d^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2b-3b^2a-3c^2d-3d^2c\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\) \(\left(đpcm\right)\)
Cho a, b, c > 0 . CMR :
\(\dfrac{a^3}{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(2c+a\right)\left(2a+b\right)}\le\dfrac{a+b+c}{9}\)
Dấu >= hay <= vậy bạn? Bạn xem lại đề.
Cho a,b,c là 3 số thực đôi một phân biệt. CMR:
\(3+\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{\left(2c+a\right)\left(2a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=\frac{2a+b}{a-b}+\frac{2b+c}{b-c}+\frac{2c+a}{c-a}\)
Cho a, b, c thoả mãn: \(a+b+c=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\). Chứng minh rằng: \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3⋮81\)
\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)\right]^3-3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-b+b-c\right)+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left(a-c\right)^3+3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)^3\)
\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy việc ta cần làm là chứng minh \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\)
Do vai trò của a, b, c là hoàn toàn tương tự, ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
- Nếu a chia hết cho 3; b chia 3 dư 1; c chia 3 dư 2 \(\Rightarrow VT=\left(a+b+c\right)⋮3\)
\(\left(a-b\right)\) chia 3 dư 2; \(\left(b-c\right)\) chia 3 dư 2; \(\left(c-a\right)\) chia 3 dư 2 \(\Rightarrow VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮̸3\Rightarrow VT\ne VP\) (vô lý) \(\Rightarrow\) loại
- Nếu a và b cùng số dư khi chia 3 và khác số dư của c khi chia 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)⋮3\)
\(\Rightarrow VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮3\)
Mà \(VT=\left(a+b+c\right)⋮̸3\Rightarrow VT\ne VP\Rightarrow\) loại
Vậy \(a,b,c\) phải cùng số dư khi chia 3
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮3\\b-c⋮3\\c-a⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\) (đpcm)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
CMR: \(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Đặt BĐT cần c/m là A
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Cho ab + bc + ca = 3abc.
CMR \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\left(b+a\right)+\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{3}{2}\)
cố quá = quá cố
Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR
a/ \(8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\left(3+a\right)\left(3+b\right)\left(3+c\right)\)
b/ \(\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\le abc\)