\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)\right]^3-3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-b+b-c\right)+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left(a-c\right)^3+3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)^3\)
\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy việc ta cần làm là chứng minh \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\)
Do vai trò của a, b, c là hoàn toàn tương tự, ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
- Nếu a chia hết cho 3; b chia 3 dư 1; c chia 3 dư 2 \(\Rightarrow VT=\left(a+b+c\right)⋮3\)
\(\left(a-b\right)\) chia 3 dư 2; \(\left(b-c\right)\) chia 3 dư 2; \(\left(c-a\right)\) chia 3 dư 2 \(\Rightarrow VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮̸3\Rightarrow VT\ne VP\) (vô lý) \(\Rightarrow\) loại
- Nếu a và b cùng số dư khi chia 3 và khác số dư của c khi chia 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)⋮3\)
\(\Rightarrow VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮3\)
Mà \(VT=\left(a+b+c\right)⋮̸3\Rightarrow VT\ne VP\Rightarrow\) loại
Vậy \(a,b,c\) phải cùng số dư khi chia 3
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮3\\b-c⋮3\\c-a⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\) (đpcm)
