Cho các số dương a,b,c,d,e. Chứng minh bất đẳng thức:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)

Cho a,b,c > 0. Chứng minh:

\(\frac{a}{\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Cho \(y=2\sqrt{x^2-6x+9}-x-2\) có đồ thị là (d)

a) Hỏi m=? để phương trình \(2\sqrt{x^2-6x+9}-x-2=m\) vô nghiệm

b) Dựa vào đồ thi (d). Tìm tập nghiệm bất phương trình: \(2\sqrt{x^2-6x+9}\ge x\)

Cho a,b,c \(\in R^+\) và a.b.c=1. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Cho các số nguyên dương a,b thay đổi thỏa mãn: \(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\)

Tìm GTNN: P=\(\frac{a^3.b^3+1}{a^3+b^3}\)

Cho các số nguyên dương a,b thay đổ thỏa mãn: \(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\)

Tìm GTNN: P=\(\frac{a^3.b^3+1}{a^3+b^3}\)

Cho đường tròn (O) bán kính bằng 1 và điểm A sao cho OA= \(\sqrt{2}\). Vẽ các tiếp tuyến AB,AC. Một góc xOy có số đo bằng \(45\) độ có các cạnh Ox,Oy cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại D,E. chứng minh \(2\sqrt{2}-2\le DE< 1\)

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: x+y+z+2 =xyz.

Chứng minh: \(x+y+z+6\ge2.\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

(Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 Quảng Bình năm 2018-2019)

Cho x,y>0. chứng minh: \(\left|\frac{x+y }{2}-\sqrt{xy}\right|+\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}\right|=\left|x\right|+ \left|y\right|\)

Hỏi đẳng thức còn đúng không nếu x,y<0.