Theo BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:

\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự ta cũng có các BĐT sau:

\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế các BĐT cùng dấu có:

\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c=1\right)\)

Khi a=b=c=1/3

Tham khảo: Câu hỏi của Nguyễn Thị Nhàn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Học tốt=)

tth : mẫu nó khác bạn nhé
- mẫu nó là 2bc 2ac 2ab
mẫu mk ko có nhân 2

Ukm,mình không để ý.Sorry bn

Nhân khai triển tử và mẫu của B, thấy ab + bc + ca thì thay bằng 1

Em tham khảo link:Câu hỏi của Conan Kudo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta có bổ đề

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

ÁP DỤNG BỔ ĐỀ VÀO P ta có

\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)

Vậy P=3

M=1 khi và chỉ khi abc=1

Áp dụng giả thiết từ đề bài :

\(M=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{abc+bc+b}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{1}{b+1+bc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{1+bc+b}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{1+b+bc}{b+1+bc}=1\)

Vậy M = 1

Ta có : \(M=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

                  \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{\frac{1}{a}+b+1}+\frac{1}{c+ca+a.b.c}\)

                  \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{1}{c.\left(ab+a+1\right)}\)

                   \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}\)

                    \(=\frac{a+ab+1}{a+ab+1}=1\)

Vậy M = 1

i don't no TT

mình chưa học tới