Bài 3:

\(A=5+5^2+..+5^{12}\)

\(5A=5\cdot\left(5+5^2+..5^{12}\right)\)

\(5A=5^2+5^3+...+5^{13}\)

\(5A-A=\left(5^2+5^3+...+5^{13}\right)-\left(5+5^2+...+5^{12}\right)\)

\(4A=5^2+5^3+...+5^{13}-5-5^2-...-5^{12}\)

\(4A=5^{13}-5\)

\(A=\dfrac{5^{13}-5}{4}\)

Ta có :

\(S=5+5^2+5^3+...+5^{2016}+5^{2017}\)

\(=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6+5^7+5^8\right)+...+\left(5^{2013}+5^{2014}+5^{2015}+5^{2016}\right)+5^{2017}\)

\(=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^4\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+...+5^{2012}\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^{2017}\)

\(=\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right)\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^{2017}\)

\(=\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12+5^{2017}\)

Ta có :

\(5^4\text{≡}1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow\left(5^4\right)^{504}\text{≡}1^{504}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow5^{2016}\text{≡}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow5^{2017}\text{≡}5\left(mod13\right)\)

Lại có :

\(\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12\text{ }\text{⋮}65\)

\(5^{2017}\)không chia hết cho 65

\(\Rightarrow\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12+5^{2017}\)không chia hết cho 65

\(\Rightarrow S\)không chia hết cho 65

Vậy \(S\)không chia hết cho 65

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2015}+5^{2016}\right)+5^{2017}\)

\(S=130+5^2\left(5+5^2\right)+5^4\left(5+5^2\right)+...+5^{2014}\left(5+5^2\right)+5^{2017}\)

\(S=130+5^2.130+5^4.130+...+5^{2014}.130+5^{2017}\)

\(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)+5^{2017}\)

Vì \(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)\)chia hết cho 65 nhưng \(5^{2017}\)không chia hết cho 65

=> \(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)+5^{2017}\)không chia hết cho 65

Vậy \(5+5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{2017}\)Không chia hết cho 65

S=5+(5²+5³+5⁴+5⁵)+....+(5²⁰¹⁴+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁷)

S=5+3900+...+5²⁰¹²(5²+5³+5⁴+5⁵⁾

S=5+3900(1+..+5²⁰¹²)

S=5+65.60.(1+...+5²⁰¹²)

Vì 65.60.(1+....+5²⁰¹²) chia hết cho 65 mà 5ko chia hết cho 65 nên a ko chia hết cho 65

1/5 S = 1+5+5^2+...+5^2012

         =1(1+5+5^2)+5^3(1+5+5^2)+...+5^2010(1+5+5^2)

        mà 1+5+5^2=31=>1+5+5^2 chia hết 31

        => mổi số hạng của 1/5 S chia hết 31

       => S chia hết 31

Học chuyên đó ak. bài zễ thế nài mà ko bt làm ntn hả

ta có : S=5+5^2+5^3+5^4+......+5^2013  ( có 2013 số hạng )

           S=(5+5^2+5^3)+(5^4+5^5+5^6)+.............+(5^2011+5^2012+5^2013)   ( có 671 nhóm)

           S= 5.(1+5+5^2)+5^2.(1+5+5^2)+........+5^2011.(1+5+5^2)

           S=(5+5^2+.....+5^2011).31

            S chia hết cho 31                

S = (1+5)+(5^2+5^3)+(5^4+5^5)+(5^6+5^7)

   = 6+5^2.(1+5)+5^4.(1+5)+5^6.(1+5)

   = 6+5^2.6+5^4.6+5^6.6

   = 6.(1+5^2+5^4+5^6) chia hết cho 6

=> ĐPCM

k mk nha

(1+5)+(5^2+5^3)+........+(5^6+5^7)

=6+5^2(1+5)+......+5^6(1+5)

=6+5^2 . 6 +.....+5^6 . 6

= 6 ( 5^2+.....+5^6)

Suy ra S chia hết cho 6

\(S=\left(1+5\right)+\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+\left(5^6+5^7\right)\)

\(=6+5^2\times6+5^4\times6+5^6\times6\)

\(=6\left(1+5^2+5^4+5^6\right)\)chia hết cho 6

=> S chia hết cho 6 =>ĐPCM

học bài tìm chữ số tận cùng chưa

\(2^{2017}\) có chữ số tận cùng là 8

\(3^{2017}\) có chữ số tận cùng là 7 

nên \(2^{2017}+3^{2017}\) có chữ số tận cùng là 5

nên chúng chia hết cho 5

biểu thứ là gì?

M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰¹².

    = ( 5+1 ).5² + ( 5+1 ). 5³ +...+( 5+1 ). 5 ⁸⁰

    =6. 5² + 6. 5³ + ...+ 6. 5 ⁸⁰

    =\(6\).5².5³x...x5 ⁸⁰

Vậy M chia hết cho 6.

\(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2022}\)

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6\right)+...+\left(5^{2021}+5^{2022}\right)\)

\(S=\left(5+5^2\right)+5^2\cdot\left(5+5^2\right)+5^4\cdot\left(5+5^2\right)+...+5^{2020}\cdot\left(5+5^2\right)\)

\(S=\left(5+5^2\right)\left(1+5^2+5^4+...+5^{2020}\right)\)

\(S=30\left(1+5^2+5^4+...+5^{2020}\right)\)

Vậy S chia hết cho 30

S không thể chia hết cho 13 nhé

S=(5+5^2)+5^2(5+5^2)+...+5^2020(5+5^2)

=30*(1+5^2+...+5^2020) chia hết cho 30

a) \(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\)

\(=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{97}+5^{98}+5^{99}\right)\)

\(=5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+...+5^{97}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=5.31+5^4.31+...+5^{97}.31\)

\(=31\left(5+5^4+...+5^{97}\right)⋮31\left(đpcm\right)\)

b) \(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\)

\(=5+\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+...+\left(5^{98}+5^{99}\right)\)

\(=5+5\left(5+5^2\right)+5^3\left(5+5^2\right)+...+5^{97}\left(5+5^2\right)\)

\(=5+5.30+5^3.30+...+5^{97}.30\)

\(=5+30.\left(5+5^3+...+5^{97}\right)\)

Mà \(5⋮̸30\) nên \(S⋮̸30\left(đpcm\right)\)

c) Ta có: \(5S=5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{100}\)

\(5S-S=\left(5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{100}\right)-\left(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\right)\)

\(4S=5^{100}-5\)

\(\Rightarrow25^x-5=5^{100}-5\)

\(\Rightarrow25^x=5^{100}\)

\(\Rightarrow25^x=25^{50}\)

\(\Rightarrow x=50\)