để hai đường thẳng vuông góc thì \(m^2+2m+1=0\)

hay m=-1

1, Ta có : y = mx - 2m - 1 

<=> m ( x - 2 ) - 1 - y = 0 

<=> m(x - 2) - (y+1) = 0

Dấu ''='' xảy ra khi x = 2 ; y = -1 

Vậy (d) luôn đi qua A(2;-1) 

2, (d) : y = mx - 2m - 1

Cho x = 0 => y = -2m - 1 

=> d cắt Oy tại A(0;-2m-1) 

=> OA = \(\left|-2m-1\right|\)

Cho y = 0 => x = \(\dfrac{2m+1}{m}\)

=> d cắt trục Ox tại B(2m+1/m;0) 

=> OB = \(\left|\dfrac{2m+1}{m}\right|\)

Ta có : \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2m+1}{m}.\left(-2m-1\right)\right|=2\)

\(\Leftrightarrow\left|-\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{m}\right|=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{m}=4\\-\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{m}=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2+8m+1=0\\4m^2+1=0\left(voli\right)\end{matrix}\right.\)

<=> m = \(\dfrac{-2\pm\sqrt{3}}{2}\)

2: Tọa độ điểm A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_A=0\\mx=2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2m+1}{m};0\right)\)

Tọa độ điểm B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\left(-2m-1;0\right)\)

Theo đề, ta có: \(\left|\dfrac{4m^2+4m+1}{m}\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2+4m+1=4m\\4m^2+4m+1=-4m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4m^2+8m+1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2=3\)

hay \(m\in\left\{\dfrac{\sqrt{3}-2}{2};\dfrac{-\sqrt{3}-2}{2}\right\}\)

Tọa độ giao điểm là:

4x-y=-7 và 2x-y=9

=>x=-8 và y=-25

Thay x=-8 và y=-25 vào (d), ta được:

-8(m+2)-2m-1=-25

=>-8m-16-2m-1=-25

=>-10m-17=-25

=>-10m=-8

=>m=4/5

Lời giải:
Để $(P)$ đi qua $A(-\sqrt{3}, -3)$ thì:

$-3=(m-1)(-\sqrt{3})^2$

$\Leftrightarrow -3=(m-1).3\Leftrightarrow m-1=-1\Leftrightarrow m=0$

Khi đó:

$(P): y=-x^2$; $(d):y=2x-1$.

Hình vẽ đồ thị hàm số:

\(a,\Leftrightarrow A\left(0;0\right)\in\left(d\right)\Leftrightarrow-2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\\ b,\Leftrightarrow x=3;y=4\Leftrightarrow3\left(m+1\right)-2m+1=4\\ \Leftrightarrow3m+3-2m+1=4\\ \Leftrightarrow m=0\Leftrightarrow\left(d\right):y=x+1\\ c,\text{PT hoành độ giao điểm: }x+1=-2x+4\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow B\left(1;2\right)\\ \text{Vậy }B\left(1;2\right)\text{ là giao 2 đths}\)

Vì đường thẳng (d) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 8

Nên m+3=8⇔ m=5

Theo pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

Ta có:\(x^2=2x+8\)

⇔\(x^2-2x-8=0\)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-8\right)=9\)

\(\sqrt{\Delta'}=\sqrt{9}=3>0\)

Vậy pt có 2 nghiệm pb

x₁₌\(\dfrac{1+3}{1}=4\)

x₂=\(\dfrac{1-3}{1}=-2\)

Với x =4 thì y=x²=4²=16

Với x =-2 thì y=x²=(-2)²=4

Vậy ......

Mọi người ơi giúp mình với😭