ai cũng có thể giải đươc. Ai nhanh minh k

có : \(n^3-7n=n^3-n-6n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6n\) mà n,n-1,n+1 là  3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6 và 6n chia hết cho 6 nên ta có điều phải chứng minh.

Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh

a3+11a⋮6a3+11a⋮6

Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6

Vậy ta có đpcm.

Lời giải:

Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6

Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n

A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n

Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2

⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3

Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3

Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6

Mà 12n⋮612n⋮6

⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6

Ta có đpcm.

Ta phải chứng minh: \(A\left(n\right)=n^3-13n⋮6\)

Chú ý rằng: \(13n=12n+n\), mà \(12n⋮6\), ta biến đổi A(n) thành:

     \(A\left(n\right)=\left(n^3-n\right)-12n\)

Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6. A(n) là hiệu của 2 hạng tử: \(n^3-n\)và 12n, mỗi hạng tử chia hết cho 6, nên \(A\left(n\right)⋮6\left(đpcm\right)\)

$ n^3 - 19n = n^3 - n - 18n = n(n^2 - 1) - 18n = n(n + 1)(n - 1) - 18n $

$ n(n + 1)(n - 1) $ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

$ \Rightarrow n(n + 1)(n - 1) \vdots 6 $

và $ 18n \vdots 6 $

$ \Rightarrow n(n + 1)(n - 1) - 18n \vdots 6 $ hay $ n^3 - 19n \vdots 6 $

B=a^3-13a

=a^3-a-12a

=a(a-1)(a+1)-12a

Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp

nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 6

=>B chia hết cho 6

\(32,5\)