Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120

Bài 1:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{1009}=t\Rightarrow 9t+1=10^{1009}\)

Ta có:

\(a+b+1=\underbrace{11...11}_{1009}.10^{1009}+\underbrace{11...1}_{1009}+4.\underbrace{11....1}_{1009}+1\)

\(=t(9t+1)+t+4.t+1=9t^2+6t+1=(3t+1)^2\) là scp.

Ta có đpcm.

Bài 2:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{n}=t\Rightarrow 9t+1=10^n\)

Ta có:

\(a+b+c+8=\underbrace{111..11}_{n}.10^n+\underbrace{111....1}_{n}+\underbrace{11...1}_{n}.10+1+6.\underbrace{111...1}_{n}+8\)

\(t(9t+1)+t+10t+1+6t+8=9t^2+18t+9\)

\(=(3t+3)^2\) là scp.

Ta có đpcm.

\(A=444......4\) (\(2n\) chữ số 4) \(=4.1111.....111\) (\(2n\) chữ số 1) \(=4.\dfrac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=222.....22\) (\(n+1\) chữ số 2) \(=2.111....11\) (\(n+1\) chữ số 1) \(=2.\dfrac{10^{n+1}-1}{9}\)

\(C=888....888\) (\(n\) chữ số 8) \(=8.111....1111\) (\(n\) chữ số 1) \(=8.\dfrac{10^n-1}{9}\)

\(\Leftrightarrow A+B+C+7=\dfrac{4,10^{2n}+2.10^{n+1}+8.10^n-14}{9}\)