Gọi B' là ảnh của B qua phép đối xứng qua trục d.

Khi đó với mỗi điểm M thuộc d

MA + MB = MA + MB′ nên MA + MB′ bé nhất

⇔ A, M, B′ thẳng hàng.

Tức là M = (AB′) ∩ d.

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N.

Với điểm M bất kỳ thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB.

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác ta có:

|MA−MB| < AB

Khi M ≡ N thì

|MA−MB|= AB

Vậy |MA−MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M ≡ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.

Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’. Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’ 

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’. Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’ 

a) Hai điểm m và b nằm cùng phía với điểm a

hai tia đối nhau gốc m là

tia MA đối tia MB

tia MA đối tia Mx

b) Trên tia Ax có AM=3cm; AB=6cm mà 0<3<6 suy ra điểm m nằm giữa hai điểm A và B

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên ta có:

AM+MB=AB

thay số:

3+MB=6

    MB=6-3

    MB=3cm

vì MB=3cm và AM=3cm suy ra MB=AM

d) vì điểm m nằm giữa hai điểm A và B suy ra m là trung điểm của đoạn thẳng AB

mà MB=AM