Cho 3 số x,y,z ∈ R.Tìm gtnn của biểu thức:
P= l 2x+3y l+l 4y+5z l+ l xy+yz+xz+110 l
Những câu hỏi liên quan
Cho ba số x,y,z thuộc R.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=/2x+3y/+/4y+5z/+/xy+yz+xz+110/
Cho 3 số x,y,z thuộc R .Tìm gtnn của biểu thức :
`P=|2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|
Ta có: \(\left|2x+3y\right|\ge0\)\(\forall x,y\inℝ\); \(\left|4y+5z\right|\ge0\)\(\forall y,z\inℝ\); \(\left|xy+yz+zx+110\right|\ge0\)\(\forall x,y,z\inℝ\)
Nên: \(P=\left|2x+3y\right|+\left|4y+5z\right|+\left|xy+yz+xz+110\right|\ge0\)\(\forall x,y,z\inℝ\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\left|2x+3y\right|+\left|4y+5z\right|+\left|xy+yz+xz+110\right|=0\)
Có: \( \left|2x+3y\right|=0\)\(\Leftrightarrow2x+3y=0\)\(\Leftrightarrow2x=-3y\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{-3}=\frac{y}{2}\)
\(\left|4y+5z\right|=0\)\(\Leftrightarrow4y+5z=0\)\(\Leftrightarrow4y=-5z\)\(\Leftrightarrow\frac{y}{-5}=\frac{z}{4}\)
\(\left|xy+yz+zx+110\right|=0\)\(\Leftrightarrow xy+yz+zx+110=0\)\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=-110\)
Lại có: \(\frac{x}{-3}=\frac{y}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{-10}\) (1) ; \(\frac{y}{-5}=\frac{z}{4}\)\(\Rightarrow\frac{y}{-10}=\frac{z}{8}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{-10}=\frac{z}{8}=k\)=> x = 15k ; y = (-10) . k ; z = 8k
Ta có: \(xy+yz+zx=-110\)\(\Rightarrow15k\left(-10\right)k+8k\left(-10\right)k+8k.15k=-110\)
\(\Rightarrow k^2\left(-150\right)+k^2\left(-80\right)+120k^2=-110\)
\(\Rightarrow k^2\left(-110\right)=-110\)\(\Rightarrow k^2=1\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=1\\k=-1\end{cases}}\)
+) Th1: k = 1
Có: x = 15k = 15 . 1 = 15
y = (-10) . k = (-10) . 1 = -10
z = 8k = 8 . 1 = 8
+) Th2: k = -1
Có: x = 15k = 15 . (-1) = -15
y = (-10) . k = (-10) . (-1) = 10
z = 8k = 8 . (-1) = -8
Vậy GTNN P = 0 <=> (x; y; z) = (15; -10; 8) hoặc (x; y; z) = (-15; 10; -8)
Cho 3 số \(x,y,z,\in R.\)Tìm \(GTNN\)của biểu thức:
\(P=|2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|\)
cho x,y,z thuộc R. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|
Tìm GTNN của P = | 2x + 3y | + | 4y + 5z | + | xy + yz + xz + 110 |
cho 3 số x,y,z>0 xy+yz+xz=xyz Tìm GTNN của biểu thức:
M=1/4x+3y+z + 1/x+4y+3x + 1/3x+y+4z
Sửa thành tìm GTLN nhé !
Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:
\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y-z+1=0.Tìm GTLN của biểu thức \(P=\frac{x^3y^3}{\left(x+yz\right)\left(y+xz\right)\left(z+xy\right)^2}\)
Cho x,y,z là các số thực thảo mãn \(x^2+y^2+z^2=1\) . TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức
M= 2(xy+yz+xz)+(xy-xz)2+(yz-xy)2+(xz-yz)2
Bài 1: Cho x,y là hai số thực khác 0 thỏa mãn:
frac{3x^2}{y^2}+frac{sqrt{2}}{y^3}1vàfrac{3y^2}{x^2}+frac{5}{x^3}1
Tính Q x^2+y^2
Bài 2: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x2+y2+z2 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M 2(xy+yz+xz)+(xy+xz)2+(yz-xy)2+(xz-yz)2
Đọc tiếp
Bài 1: Cho x,y là hai số thực khác 0 thỏa mãn:
\(\frac{3x^2}{y^2}+\frac{\sqrt{2}}{y^3}=1và\frac{3y^2}{x^2}+\frac{5}{x^3}=1\)
Tính Q \(=x^2+y^2\)
Bài 2: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x2+y2+z2\(=\) 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M\(=\) 2(xy+yz+xz)+(xy+xz)2+(yz-xy)2+(xz-yz)2