Thì bạn cứ biết là áp dụng bđt 

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a+2b}=\frac{9}{a+2b}\) ( BĐT Schwarz )

 Ta cần cm \(a+2b\le3c\)

\(\left(a+2b\right)^2=\left(1\cdot a+\sqrt{2}\cdot b\cdot\sqrt{2}\right)^2\le\left(1^2+\left(\sqrt{2}\right)^2\right)\left(a^2+2b^2\right)=3\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)( BUN nhiacopxki )

<=> \(\sqrt{\left(a+2b\right)^2}\le\sqrt{9c^2}\Leftrightarrow a+2b\le3c\) ( XONG ) 

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = c  

cái đầu tiên là BDT gì vậy thắng

Tham khảo: https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-cac-so-duong-thoa-man-a2-2b2-3c2-chung-minh-1-a-2-b-3-c

Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có

\(\left(a+2b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)=3.\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)

=> \(a+2b\le3c\)

Mà \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\left(ĐPCM\right)\)

bạn tl rất hay

cảm ơn bn

Áp dụng BĐT bu-nhi-a ta có \(\left(a+2b\right)^2\le3\left(a^2+2b^2\right)\le9c^2\Rightarrow a+2b\le3c\)

=>\(\frac{1}{a+2b}\ge\frac{1}{3c}\Rightarrow\frac{9}{a+2b}\ge\frac{3}{c}\)

Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{3}{c}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\left(ĐPCM\right)\)

8n

Ta có \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1\)

BĐT cần chứng minh tương đương với \(\frac{\frac{1}{c^3}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}+\frac{\frac{1}{b^3}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}}+\frac{\frac{1}{a^3}}{\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Đặt \((\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\). Bài toán trở thành: 

Cho \(x,y,z>0|x^2+y^2+z^2\geq 1\). CMR \(P=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Lời giải:

 Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz:

\(P=\frac{x^4}{xy^2+xz^2}+\frac{y^4}{yz^2+yx^2}+\frac{z^4}{zx^2+zy^2}\geq \frac{(x^2+y^2+^2)^2}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}\) (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\geq y\geq z\Rightarrow x^2\geq y^2\geq z^2\) 

Và \(y+z\leq z+x\leq x+y\). Khi đó, áp dụng BĐT Chebyshev: 

\(3[x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)]\leq (x^2+y^2+z^2)(y+z+x+z+x+y)\)

\(\Leftrightarrow x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3}\)

Theo hệ quả của BĐT Am-Gm thì: \((x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)

\(\Rightarrow x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{3}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(P\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có đpcm

Dáu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)

Khi đó giả thiết được viết lại là \(x^2+y^2+z^2\ge1\)và ta cần chứng minh \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)(*)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:

\(VT_{\left(^∗\right)}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\)\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\)

Đến đây ta đi chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)\(\ge\sqrt{3}\left[x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)\right]\)

Ta có: \(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\frac{2x^2+y^2+z^2+y^2+z^2}{3}\right)^3}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Tương tự ta có: \(y\left(z^2+x^2\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: 

\(\text{∑}_{cyc}\left[x\left(y^2+z^2\right)\right]\le\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\text{∑}_{cyc}\left[x\left(y^2+z^2\right)\right]\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Cuối cùng ta cần chứng minh được

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

\(a+2b=1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b\le\sqrt{\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)}\le\sqrt{3.3c^2}=3c\)

\(\Rightarrow a+2b\le3c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\)

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 

\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\Rightarrow a+2b\le3c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)

\(\frac{2a^2}{a+b^2}=2a-\frac{2ab^2}{a+b^2}\ge2a-\frac{2ab^2}{2b\sqrt{a}}=2a-b\sqrt{a}\ge2a-\frac{b+ba}{2}\) 

Tương tự rồi cộng từng vế ta có: 

\(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\) 

Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)^2\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\) 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\) 

Dấu "=' khi a=b=c=1

Làm 2 cách nhá 

\(\frac{2a^2}{a+b^2}=\frac{2a^2}{\frac{a^2+1}{2}+b^2}=\frac{4a^2}{a^2+2b^2+1}=\frac{4a^4}{a^4+2a^2b^2+a^2}\)

Tương tự rồi theo Cauchy Schwarz ta có được:

\(LHS\ge\frac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+3}=\frac{36}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3}=\frac{36}{12}=3\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

Theo BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(LHS=\frac{4a^4}{2a^3+2a^2b^2}+\frac{4b^4}{2b^3+2b^2c^2}+\frac{4c^4}{2c^3+2c^2a^2}\)

\(\ge\frac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{2a^3+2b^3+2c^3+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}\)

\(\ge\frac{36}{\left(a^4+a^2\right)+\left(b^4+b^2\right)+\left(c^4+c^2\right)+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}\)

\(=\frac{36}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}\)

\(=3\)

Mà \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\Rightarrowđpcm\)