Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh: a) BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) b) BD = BH; CE = CH c)BD+CE=BC d) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng HẾT.
a: Xét (A;AH) có
AH là bán kính
BC\(\perp\)AH tại H
Do đó: BC là tiếp tuyến của (A;AH)
b: Xét (A) có
BH,BD là các tiếp tuyến
Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD
Xét (A) có
CE,CH là các tiếp tuyến
Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE
c: BD+CE
=BH+CH
=BC
d: AB là phân giác của góc HAD
=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)
AC là phân giác của góc HAE
=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\)
=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)
=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)
=>E,A,D thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A: AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh bốn điểm A, H, C, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AH = BD; CE và DE là tiếp tuyến đường tròn đường kính BC.
c) Kẻ đường cao HK của tam giác HDE cắt BE tại I. Chứng mình 1 là trung điểm của HK.
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A;AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D,E là tiếp điểm khác điểm H.)
a) Chứng minh 3 điểm D,A,E thẳng hàng.
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
a) Vì \(BC\bot AH\Rightarrow BC\) là tiếp tuyến của (A;AH)
Vì BD,BH là tiếp tuyến \(\Rightarrow AB\) là phân giác \(\angle DAH\Rightarrow\angle DAH=2\angle BAH\)
Vì CE,CH là tiếp tuyến \(\Rightarrow AC\) là phân giác \(\angle EAH\Rightarrow\angle EAH=2\angle CAH\)
\(\Rightarrow\angle DAH+\angle EAH=2\left(\angle BAH+\angle CAH\right)=2\angle BAC=180\)
\(\Rightarrow\angle DAE=180\Rightarrow D,A,E\) thẳng hàng
b) Vì \(AB\) là phân giác \(\angle DAH\)
\(\Rightarrow\angle DAB=\angle BAH=90-\angle ABC=\angle ACB\)
\(\Rightarrow DA\) là tiếp tuyến của (BAC) nên DE là tiếp tuyến của (BAC)
mà \(\angle BAC=90\Rightarrow\) (BAC) là đường tròn đường kính (BC)
nên ta có đpcm
Tự vẽ hình nha !
a) Ta có AH vuông góc BC
H thuộc (A;AH)
=> BC là tiếp tuyến của (A;AH)
Xét (A) có DB và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau
=> A1 = A2
Tương tự ta chứng minh được : A3 = A4
Mà A2 + A3 = 90 độ
=> A1 + A2 + A3 + A4 = 90 độ + 90 độ = 180 độ
=> DAE = 180 độ
=> D,A,E thẳng hàng
b) Gọi M là trung điểm BC
Theo tính chất tiếp tuyến ta có :
AD vuông góc BD
AE vuông góc CE
=> BD//CE
=> BDEC là hình thang
=> MA là đường trung bình của hình thang BDEC
=> MA // BD
=> MA vuông góc DE
Xét tam giác vuông ABC có : MA = MB = MC
=> M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính
Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn tâm M đường kính BC
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A;AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H).
Chứng minh rằng:
Ba điểm D, A, E thẳng hàng
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AB là tia phân giác của góc HAD
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A;AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H).
Chứng minh rằng:
DE tiếp xúc với đường tròn các đường kính BC
Gọi M là trung điểm của BC
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
AD ⊥ DB; AE ⊥ CE
Suy ra: BD // CE
Vậy tứ giác BDEC là hình thang
Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC
Suy ra: MA // BD ⇒ MA ⊥ DE
Trong tam giác vuông ABC ta có : MA = MB = MC
Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm
a, Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng
b, Chứng minh BD.CE = D E 2 4
c, Gọi M là trung điểm CH. Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) tại N với N khác H. Chứng minh CN và AM song song
a, Chú ý: Ab là phân giác góc D A M ^ ; AC là phân giác góc E A M ^ từ đó D A E ^ = 180 0
b, Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến và hệ thức về đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông BAC => BD.CE = BH.CH = C H 2 = D E 2 4
c, ∆HNC nội tiếp đường tròn (M) đường kính HC => HN ⊥ NC
Chứng minh AN là tiếp tuyến của (M)
Do đó AM ⊥ HN => AM//NC
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng :
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AB là tia phân giác của góc HAD
\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAH}\)
AC là tia phân giác của góc HAE
\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{CAE}\)
Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HEA}=2.\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=2.\widehat{BAC}=2.90^o=180^o\)
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Gọi M là trung điểm của BC
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: \(AD\downarrow BD;AE\downarrow CE\)
Suy ra: BD // CE
Vậy tứ giác BDEC là hình thang
Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC
Suy ra: \(MA\\ BD\Rightarrow MA\downarrow DE\)
Trong tam giác vuông ABC ta có: MA = MB = MC
Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC
a) theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
ta có : DAB = BAH và HAC = CAE
DAH + HAE = 2(BAH + HAC) = 2.90 = 180
vậy D , A , E thẳng hàng
b) gọi M là trung diểm của BC
mà DA = AE = R
\(\Rightarrow\) MA là đường trung bình của hình thang BDEC nên MA // DB \(\Rightarrow\) MA \(\perp\) DE
mà MA = MB = MC nên MA là bán kính của đường tròn có đường kính BC
vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC
\(\Leftrightarrow\) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC (đpcm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Vẽ đường tròn tâm $A$, bán kính $AH$. Kẻ các tiếp tuyến $BD$, $CE$ với đường tròn ($D$, $E$ là các tiếp điểm khác $H$). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm $D$, $A$, $E$ thẳng hàng.
b) $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.
a/ Xét \(\Delta ABC\) có
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)
Ta có
\(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)
Ta có
\(\widehat{ACE}=\widehat{ACB}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)
\(\Rightarrow\left(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}\right)+\left(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=180^o\)
=> BD//CE (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc trong cùng phía bù nhau thì chúng // với nhau)
Ta có
\(AD\perp BD\Rightarrow AD\perp CE\)
\(AE\perp CE\Rightarrow AE\perp BD\)
=> AD và AE cùng vuông góc với BD => AD và AE trùng nhau (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => D; A; E thẳng hàng
b/
Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A => A thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm BC nối AI ta có
BD//CE => BDEC là hình thang
AD=AE (bán kính (O))
IB=IC
=> AI là đường trung bình của hình thang BDEC => AI//CE mà \(CE\perp DE\Rightarrow AI\perp DE\) => DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC hay DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE.
Suy ra: ^DAE=^DAB+^BAH+^HAC+^CAE=2^BAH+2^HAC=2^BAC=180o.
Do ^DAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a: DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có BD⊥DE,CE⊥DE. Suy ra BD//CE.
Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra OA⊥DE mà OA=BC2 nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.
Thế thì tiếp xúc với đường tròn đường kính .
a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
; .
Suy ra: .
Do nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a: DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có . Suy ra BD//CE.
Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra mà nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.
Thế thì tiếp xúc với đường tròn đường kính .
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kinh AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn tâm A (D. E là các tiếp điểm khác H). a) Tinh BC. AH. b) Chứng minh rằng : Ba điểm D. A. E thẳng hàng. Cần gấp =((
a: BC=5cm
AH=2,4cm
b: Xét (A) có
CE là tiếp tuyến
CH là tiếp tuyến
Do đó: AC là tia phân giác của góc EAH(1)
Xét (A) có
BH là tiếp tuyến
BD là tiếp tuyến
Do đó: AB là tia phân giác của góc HAD(2)
Từ (1) và (2) suy ra E,A,D thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kinh AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn tâm A (D. E là các tiếp điểm khác H). a) Tinh BC. AH. b) Chứng minh rằng : Ba điểm D. A. E thẳng hàng.
