Cho n số \(x_1,x_2,x_3,..............,x_n\) mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n tích \(x_1x_2,x_2x_3,x_3x_4,...................,x_{n-1}x_n,x_nx_1\) bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4
Cho n số \(x_1,x_2,x_3,..................,x_n\) mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n tích \(x_1x_2,x_2x_3,x_3x_4,.........................,x_{n-1}x_n,x_nx_1\) bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4
Cho n số \(x_1,x_{2,...,}x_n\) mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1=0\)thì n chia hết cho 4
Cho\(x_1,x_2,x_3,....,x_n\in\left\{-1;1\right\}\) , n \(\in\)N* thỏa mãn :\(x_1x_2+x_2x_3+....+x_nx_1=0\)
Chứng minh: \(n⋮4\)
cho n số \(x_1,x_2,...,x_n\)
mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1=0\)thì n chia hết cho 4
Bạn có thể tham khảo lời giải tại đây:
Bài toán 4. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 x2.x3 ... xn.x1 = 0 thì... - Hoc24
Chứng minh rằng với các số thực dương \(x_1,x_2,...,x_n\)ta có:
\(\frac{x_1}{x_2+x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_1}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+...+\frac{x_n}{x_{n-1}+x_1}\ge2,\forall n\ge4\).
P/s: chứng minh bằng quy nạp
Với \(n=4\) bđt \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1}{x_4+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+\frac{x_4}{x_3+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1^2}{x_4x_1+x_1x_2}+\frac{x_2^2}{x_1x_2+x_2x_3}+\frac{x_3^2}{x_2x_3+x_3x_4}+\frac{x_4^2}{x_3x_4+x_4x_1}\ge2\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2.\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{4}}=2\)
Giả sử bđt đúng đến n=k hay \(\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}\ge2-\frac{x_1}{x_k+x_2}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\)
Với n=k+1, cần cm \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge2\)
hay \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}-\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge0\) (2)
giả sử \(x_k=max\left\{a_1;a_2;...;a_{k+1}\right\}\)
\(VT_{\left(2\right)}=\frac{x_1\left(x_k-x_{k+1}\right)}{\left(x_k+x_2\right)\left(x_{k+1}+x_2\right)}+\frac{x_k\left(x_1-x_{k+1}\right)}{\left(x_{k-1}+x_1\right)\left(x_{k-1}+x_{k+1}\right)}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}>0\)
nhầm, chỗ giả sử là \(x_{k+1}=min\left\{x_1;x_2;...;x_{k+1}\right\}\)
Cho n số:\(x_1;x_2;x_3;........;x_n\)với \(x_k=1\)hoặc -1 (k=1;2;3;.....;n)
CMR:\(x_1.x_2+x_2.x_3+......+x_{n-1}.x_n=0\)thì n chia hết cho 4
2. Cho n số \(x_1;x_2;x_3;...;x_n\) mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1.CMR nếu \(x_1\cdot x_2+x_2\cdot x_3+...+x_n\cdot x_1=0\)thì n chia hết cho 4
#)Giải :
Từ giả thiết ta suy ra được các tích x1.x2+x2.x3+...+xn.x1 chỉ nhận 1 trong 2 giá trị là 1 và (-1)
Mà x1.x2+x2.x3+...+xn.x1 = 0 => n = 2m
Đồng thời có m số hạng = 1, m số hạng = -1
Ta nhận thấy (x1x2)+(x2x3)...(xnx1) = x21.x22.....x2n = 1
=> Số các số hạng = -1 phải là số chẵn => m = 2k
=> n = 4k => n chia hết cho 4
a)Tìm các số nguyên dương m và n sao cho:
\(2^m\)-\(2^n\)= 256
b)Cho n số \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... , \(x_n\), mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n tích \(x_1\)\(x_2\), \(x_2\)\(x_3\), \(x_3\)\(x_4\), ..., \(x_n\)\(x_1\) bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
Cho n số \(x_1,x_2,...,x_n\)mỗi số nhận giá trị là \(1\)hoặc \(-1\). Chứng minh rằng nếu \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1=0\)thì n chia hết cho 4
Xét n tích \(x_1x_2,x_2x_3,...,x_nx_1\)mỗi tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 mà tổng của chúng bằng 0 nên số tích có giá trị 1 bằng số tích có giá trị -1,và đều bằng \(\frac{n}{2}\). Vậy n chia hết cho 2.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn.Thật vậy,xét :
\(A=\left(x_1x_2\right)\left(x_2x_3\right)...\left(x_{n-1}x_n\right)\left(x_nx_1\right)\)
Ta thấy \(A=x^2_1\cdot x^2_2...x^2_n\)nên A = 1 > 0,chứng tỏ số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn,tức là \(\frac{n}{2}\)là số chẵn,do đó n chia hết cho 4.
Mun GiàChép trong sách nâng cao và pt toán 7 hay gì đó thì ghi nguồn nhé