Biến đổi từ giả thiết

\(x^3+y^3+6xy\le8\)

\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)

(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))

\(\Leftrightarrow x+y\le2\)

Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

                                 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)

Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)

               \(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)

                 \(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" <=> a= b = 1

\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:

\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

Vậy..................

Ta có: \(\frac{x+1}{y^2+1}=\left(x+1\right).\frac{1}{y^2+1}=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)\)

\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:

\(P\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)

\(=6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\) (*)

Lại có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Thay vào (*),ta có: \(P\ge6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\)

\(\ge6-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Bài t đúng 100% nhá,đứa nào tk sai t nhở? ngon vô làm lại=)

Mời các bạn Xem lời giải mình thử nhé, chả hiểu sao mình tìm được maxB mà không phải minB, nếu sai chỗ nào nhớ góp ý cho mình với nhé!!!. Cảm ơn...

Có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)), mà \(x+y=1\Leftrightarrow x^3+y^3=x^2+y^2+xy\)

mà \(\left(x+y\right)^2=1^2=1\Rightarrow x^2+xy+y^2=1-xy\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{xy-\left(xy\right)^2}\)

Lại có: \(x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow x^2+y^2+xy\ge3xy\Leftrightarrow1-xy\ge3xy\)\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)( AD bđt Cosy),  để tính maxB \(\Rightarrow xy-\left(xy\right)^2min\), mà \(max\left(xy\right)=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow maxB=\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{16}{3}\)

@Nguyễn Phước Nhật Tôn HĐT sai rồi bạn ơi @@

Ta có : \(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^2=1\)

Mà \(4xy\le\left(x+y\right)^2\)\(\Rightarrow4xy\le1\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(B=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}+\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1-\frac{3}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?

8

555566655

5665656746565656+5965=?

Ta có: \(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) ( với a,b,c dương)

Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c

Lại có: \(\frac{1}{x+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1\right);\frac{1}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+1\right);\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+1\right)\)

\(\Rightarrow P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge\)\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z}+1\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\frac{9}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN của P= 3/2 <=> x=y=z=1