Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, có  =  = 90^o và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD.

Chứng minh rằng: CI ^ AI

Giải:

Gọi G là trung điểm AD. Suy ra GI là đường trung bình traong tam giác ADH => GI // AH.

Vẽ IJ // AD => Tứ giác AGIJ là hình bình hành => AG = IJ = BC => Tứ giác BCIJ cũng là hình bình hành.

Vì IJ // AD => IJ vuông góc với AB. Trong tam giác ABI thì J là giao điểm hai đường cao IJ và AH nên J là trực tâm => BJ vuông góc AI.

Mà BJ // CI (Do tứ giác BCIJ là hình bình hành) nên CI vuông góc với AI.

b: Ta có: \(AE=ED=\dfrac{1}{2}AD\)

mà \(AB=BC=\dfrac{AD}{2}\)

nên AE=ED=AB=BC

Xét tứ giác AECB có 

AE//CB

AE=CB

Do đó: AECB là hình bình hành

mà \(\widehat{EAB}=90^0\)

nên AECB là hình chữ nhật

mà AE=AB

nên AECB là hình vuông

Xét ΔHAD có 

N là trung điểm của AH

M là trung điểm của HD

Do đó: MN là đường trung bình của ΔHAD

Suy ra: MN//AD và \(MN=\dfrac{AD}{2}\)

mà \(AE=BC=\dfrac{AD}{2}\) và AD//BC

nên MN//BC và MN=BC

Xét tứ giác BCMN có 

MN//BC

MN=BC

Do đó: BCMN là hình bình hành

a, \(\Delta HCI=\Delta DCI\left(ch-gn\right)\Rightarrow HI=DI=AI=\frac{1}{2}AD\)

\(\Delta AHD\)có đường trung tuyến \(HI=\frac{1}{2}AD\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\)vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{AHD}=90^0\)

b,  \(\Delta AIB=\Delta HIB\left(ch-cgv\right)\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{HBI}\)

Do đó: BI là tia p/g của \(\widehat{ABC}\)

Mà      CI là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

          \(\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=90^0\)

c,  \(\Delta HCI=\Delta DCI\left(cmt\right)\Rightarrow HC=DC\)(1)

     \(\Delta ABI=\Delta HBI\left(cmt\right)\Rightarrow AB=HB\)  (2)

Từ (1) và (2), ta được \(AB+DC=HB+HC=BC\)

a: Xét ΔEAB có 

F là trung điểm của EB

H là trung điểm của EA

Do đó:FH là đường trung bình

=>FH//AB và FH=AB/2

=>FH//CD và FH=CD/2

mà DG=DC/2

nên FH=DG và FH//DG

=>FHDG là hình bình hành