\(a+b+c+2=abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :

\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)

\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng mình 

Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *

Khi đó:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Trời ạ cay vãi shit đánh máy xong rồi tự nhiên bấm hủy T.T bài 1 ngắn đã đành ......

\(WLOG:a\ge b\ge c\)

Ta dễ có:\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\)

\(\le\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{b+c+1}\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c+1}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(b+c+1\right)\le1+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le1-a\) ( 1 )

Mà theo AM - GM :

\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le\left(\frac{1-b+1-c+1+b+c}{3}\right)^3=1\)

Khi đó ( 1 ) đúng

Vậy ta có đpcm

Nếu bài toán trở thành

\(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\) thì bài toán khó định hướng hơn rất nhiều :D

a)(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=a(ab+bc+ac)+b(ab+bc+ac)+c(ab+bc+ac)-abc

=a²b+abc+a²c+ab²+b²c+abc+abc+bc²+ac²-abc

=(abc+a²b)+(a²c+ac²)+(b²c+ab²)+(bc²+abc)+(abc-abc)

=ab(c+a)+ac(c+a)+b²(c+a)+bc(c+a)

=(ab+ac+b²+bc)(c+a)

=(a+b)(b+c)(c+a)

a) \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a-abc\)

\(=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c+2abc=b\left(a^2+2ac+c^2\right)+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)\)

\(=b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)\)

\(=\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)(áp dụng từ câu a) )

\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)

Đặt \(a^{2n+1}=x;b^{2n+1}=y;c^{2n+1}=z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)( áp dụng câu a) )

\(\Rightarrow x+y=0\)hoặc \(y+z=0\)hoặc \(z+x=0\)

Mà ta lại có \(a+b=0\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\)(luôn đúng)

Tương tự với các trường hợp còn lại, ta có điều phải chứng minh.

\(\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+2=\frac{1}{abc}\)

Đặt : \(\left(\frac{a}{bc};\frac{b}{ac};\frac{c}{ab}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(x+y+z+2=xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+1=1\)

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}=2\)

bạn nhân ra hết cho mk

thanks bạn nhiều nha