cho\(a+b+c=1\)a,b,c là các số dương
CMR : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1
CMR \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ac+bc+ab+a+b+c+1\)
Áp dụng BĐT thức Cô si cho 3 số , ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c+2\ge3+3+2=8\left(đpcm\right)\)
Bạn Huyền dài dòng quá! Dự đoán a = b = c = 1 cô si phát là ra=)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)\(=8\sqrt{abc}=8^{\left(đpcm\right)}\)
cho \(a+b+c=1 cmr\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1.
CMR:\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)
Ta có:\(\left(a-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)-4a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)
TT\(\Rightarrow\left(b+1\right)^2\ge4b\)
\(\left(c+1\right)^2\ge4b\)
Nhân vế theo vế ta được \(\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2\ge64abc=64\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)(đpcm)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1.\\ CMR:\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le\frac{1}{8}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
hay ko = hên :)) nghĩ bừa cái ra lun
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+1=1-\frac{1}{b}+1-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+1}{a}=\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c}\ge2\sqrt{\frac{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}{bc}}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{b+1}{b}\ge2\sqrt{\frac{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}{ca}};\frac{c+1}{c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}}\)
Nhân theo vế ta được :
\(\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{abc}\ge8\sqrt{\frac{\left(a-1\right)^2\left(b-1\right)^2\left(c-1\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\frac{8\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le\frac{1}{8}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) ( đpcm )
...
Cho a,b,c là các số thực dương.
\(CMR:\left(a^2+b\right)\left(b^2+c\right)\left(c^2+a\right)\ge abc\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
Nhân tung tóe + rút gọn ta được: \(\Sigma_{cyc}a^3b^2+\Sigma_{cyc}ab^3\ge abc\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{a^2b}{c}+\Sigma\frac{a^2}{b}\ge ab+bc+ca+a+b+c\) (*)
(*) đúng do \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2b}{c}+bc\ge2ab\\\frac{a^2}{b}+b\ge2a\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\Sigma\frac{a^2b}{c}\ge ab+bc+ca\\\Sigma\frac{a^2}{b}\ge a+b+c\end{cases}}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)
Vì a và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow a+1\ge2\sqrt{a}\) (bđt AM - GM)
Vì b và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow b+1\ge2\sqrt{b}\)(bđt AM - GM)
Vì c và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow c+1\ge2\sqrt{c}\)(bđt AM - GM)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\) (đpcm)
Cho \(a,b,c\) là các số dương . \(CMR\) \(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{c+a}{8}\ge\dfrac{3b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c+a}{8}+\dfrac{a+b}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
cho a,b,c là các số dương và abc=1. Chứng minh: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge8\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số không âm (với \(a,b,c>0\)), ta có:
\(a^2+1\ge2a\) \(\left(1\right)\)
\(b^2+1\ge2b\) \(\left(2\right)\)
\(c^2+1\ge2c\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc=8\) (do \(abc=1\))
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Cho a , b , c , n là các số dương
CMR \(a^{\left(n+1\right)\left(b+c\right)}+b^{\left(n+1\right)\left(a+c\right)}+c^{\left(n+1\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{a^n+b^n+c^n}{2}\)