Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)

\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)

                  \(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)

Ta có 

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{c+a}}.\sqrt{\frac{b}{c+b}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

Tương tự, ta có

\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+a}\right)}\)

Cộng vế theo vế của 3 bđt ta được đpcm

Bunhia thì phải hoặc tương đương thần chưởng @@
Có lẽ bunhia đấy :vv

Câu này t dùng vi-et giải được. Nhưng để mai đi. Giờ giải bằng điện thoại thì khó quá

Nhầm. Dùng tam thức bậc 2 chứ

BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)

Theo BĐT Svacxo:

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)

Vậy ta có đpcm.

P/s: Đúng ko ta?

Từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)  (*) (Vì a,b,c > 0)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\le\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Đánh giá tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

Từ đó, kết hợp với (*) suy ra:

 \(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}.4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1.\)

kết bạn với mình không

shrshdrhdhfhrffhrrfhdrwhr 9-9-9=-9

trong câu hỏi tương tự cũng có đó, bạn vào tham khảo nha

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{1-bc}\le\frac{1}{1-\frac{\left(b+c\right)^2}{4}}=\frac{4}{4-\left(b+c\right)^2}=1+\frac{\left(b+c\right)^2}{4-\left(b+c\right)^2}\)

               \(\le1+\frac{\left(b+c\right)^2}{4-2\left(b+c\right)^2}=1+\frac{\left(b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(b^2+c^2\right)}\)

               \(=1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)\right]}\le1+\frac{b^2}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{2\left(b^2+c^2\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{c^2}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{a^2}{2\left(b^2+a^2\right)}\)

\(\frac{1}{1-ab}\le1+\frac{a^2}{2\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{2\left(c^2+b^2\right)}\)

Cộng theo vế ta được:

\(\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}\le3+\frac{a^2+b^2}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2+c^2}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2+a^2}{2\left(c^2+a^2\right)}=\frac{9}{2}\)

Vậy BĐT đc c/m